御用納めの問題と問題提起
とする。
このとき、次の問に答えよ。
（１） x=0でf(x)が連続であることを示せ。
（２） f(x)はx=0で微分可能か。
【略解】
（１） x≠0のとき
x→0のとき、x²→0だから、ハサミ打ちの定理より
また、f(0)=0だから、
となるので、f(x)はx=0で連続である。
（２） h≠0とすると、
したがって、
となるので、f(x)はx=0で微分可能である。
（略解終）
となるので、f(x)は(−∞,∞)で微分可能になる。
問題２ 問題１の導関数f'(x)はx=0で連続か。
この問題を受けて、さらに質問するにゃ。
の導関数
って、たとえば、[−1,1]で積分可能なのだろうか？
f'(x)は原点付近でこんなに激しく振動しちゃっているけれど、本当に、f'(x)は[−1,1]で積分できるんだろうか。
つまり、次の積分は存在するか？
ことわっておくが、次の定理はf'(x)の[−1,1]における積分可能性の根拠にならない。
定理
f(x)を[a,b]で連続とする。F(x)がf(x)の原始関数、すなわち、
ならば、
である。
何故ならば、
は原点x=0で不連続だから！！
さらに、この曲を埋め込んでおこう。