関数列の問題


 


問題１　I=[0,1]のとき、が


　　


で定義されるとする。


このとき、次の問に答えよ。


（１）　関数列がIの各点で収束することを示せ。


（２）　は一様収束か。


（３）　は成立するか。


【解】


（１）　x=0のとき、


　　


なので、1に収束する。


0<x≦1のとき、になるようにnをとると、


　　


なので、


　　


したがって、


　　


 


（２）　はIで連続であるが、その極限関数f(x)がIで連続でないので、一様収束ではない。


 


（３）


　　


また、


　　


よって、


　　


（解答終）


 


（２）のの一様収束か否かの判定には、次の定理１を使っている。


 


定理１


I上の連続関数列が関数f(x)に一様収束すれば、f(x)はI上で連続である。


 


また、


　　


で、


　　


だから、はIで一様収束でないとしてもよい。


 


 


問題２　


　　


とする。このとき、次の問に答えよ。


（１）　[0,1]の各点で収束することを示せ。


（２）　一様に収束するか。


（３）　は成立するか。


【解】


（１）　x=0のとき、


　　


だから、０に収束する。


0<x≦１のとき、


　　


n→∞のとき2/nx→0なので、ハサミ打ちの定理より


　　


よって、は[0,1]の各点でf(x)=０に収束する。


 


（２）　の増減を調べるために、xで微分すると


　　


したがって、x=1/nのときに、は最大。


　　


したがって、


　　


よって、


　　


である。


　　


なので、は一様収束でない。


 


（３）


　　


また、


　　


よって、


　　


（解答終）


 


定理１の逆は一般に成り立たないので、


極限関数f(x)=0が[0,1]で連続だから関数列は[0,1]で一様収束


とするのは間違いなので、注意。


 


 


問題３


　　


とする。このとき、次の問に答えよ。


（１）　関数列が[0,1]の各点で収束することを示せ。


（２）　一様収束か。


（３）　は成り立つか。


【解】


（１）　x=0のとき、


　　


0<x≦1のとき、1/n≦xとなるように自然数nをとると、


　　


したがって、


　　


よって、[0,1]の各点xでf(x)=0に収束する。


 


（２）


　　


したがって、一様収束でない。


 


（３）


　　


よって、


　　


また、


　　


だから、


　　


は成立しない。


（解答終）