有界収束の定理
普通の微分積分の教科書では取り扱っていない、有界収束の定理を紹介する。
定理４（有界収束の定理）
有界閉区間[a,b]で定義された連続関数
が成り立つ。
この有界収束の定理はいわゆる微分積分の範囲を逸脱するので、証明は示さない。
例１ 連続関数
からなる関数列
で有界。また、極限関数はf(x)=0は[0,1]で連続なので、上の有界収束の定理より
と計算することができる。
問
を実際に計算し、
となることを確かめよ。
問題１ 次の値を求めよ。
【解】
[0,1]の全ての点で
に収束し、
で有界。
したがって、定理４より
（解答終了）
実は、定理４は、もっと条件を弱めることができる。
定理４’（有界収束の定理）
が成り立つ。
ただし、下線部を引いた積分可能はリーマン積分可能の意味でない場合があるので注意が必要。
この定理４’を用いると、
関数列
の極限関数は
と、[0,1]で不連続なのに、
と計算できる理由を説明できる。
問題２ 次の値を求めよ。
【解】
x=0のとき、
0<x≦1のとき、
したがって、極限関数f(x)は
また、[0,1]で
と有界なので、定理４’より
（解答終了）
問２
を実際に積分することによって、
の値を求めよ。
【略解】
よって、
ここで、erf(x)は誤差関数
（略解終）
これで、厄介な一様収束の判定から無縁になった！！
ただし、有界収束の定理は有界閉区間[a,b]でないと一般に成立しないので注意が必要である。