関数列の微分


 


定理３


関数列を閉区間[a,b]上のC¹級の関数列とする。[a,b]でが関数f(x)に各点で収束し、かつ、がある関数に一様収束するならば、


　　


である。


【証明】


は[a,b]上でC¹級なので、は[a,b]で連続で、積分可能である。


x∈[a,b]とすると、


　　


はf(x)に各点で収束し、はその極限関数g(x)に収束するので、


n→∞の極限をとると、


　　


右辺は微分可能なので、f(x)も微分可能で、


　　


（証明終）


 


例１


　　


とすると、これはx≧1でC¹級で、f(x)=0に一様収束する。


　　


また、


　　


なので、も0に一様に収束する。


したがって、定理３より、


　　


となり、定理が成り立っていることがわかる。


 


問１　次の関数列が一様に収束することを示せ。


　　


【略解】


　　


また、


　　


なのでハサミ打ちの定理より、


　　


よって、関数列はf(x)=0に収束する。


　　


だから、一様に収束する。


（略解終）


 


例２


　　


はC¹級で、f(x)=0に一様に収束。


また、


　　


は、


　　


となり、一様収束ではない。


この例の場合、


　　


である。


 


例３


　　


で定義される関数列がある。


　　


となるので、この関数列の極限関数はf(x)=0である。


また、


　　


は、0に一様ではなく各点収束する。


しかし、


　　


が成立する。


 


例３を見るとわかる通り、が一様収束ではなく各点収束であっても、


　　


が成立することがある。


実は、が一様収束であるという条件は強すぎる。もっと縛りの弱い条件でも成立するのですが、これは微分積分の範囲を越えてしまうので、これ以上は語らない。


 


問２


　　


がx∈[0,1]であるすべて点xで収束することを示せ。また、一様収束でないことを示せ。


【略解】


　　


よって、[0,1]で0に収束し、極限関数はf(x)=0 (x∈[0,1]) である。


x=1/nとすると、


　　


となるので、一様収束ではない。


（略解終）


 


上の解答では、ずるい一様収束の判定を行ったが、


　　


を微分し、それから増減を調べ、


　　


となることを確かめるように。