関数列のどうでもいい話かも
定理２
次の連続な関数列
は、
に収束するので、[0,1]で一様収束ではない。
したがって、定理２を使うことはできない。
しかし、
となる。
また、極限関数f(x)は[0,1]で積分可能であり、
となるので、
が成立する。
したがって、連続な関数列が[a,b]上でf(x)に一様収束しなくても、（１）式が成立することがある。
つまり、連続な関数列が極限関数に一様収束することは（１）式が成立することの十分条件にすぎないことがわかるだろう。
（２）式で定義される関数f(x)は[0,1]で連続でないので、積分できないって？
それは、
が成り立つとき、F(x)をf(x)の原始関数（不定積分）といい、定積分を
と定義する高校流の定積分の話。
（２）式で定義される関数は、（リーマン）積分可能ですよ。
f(x)を閉区間[a,b]で定義された有界関数とする。[a,b]の分割
に対し、
をリーマン和といい、
を分割の幅という。
このとき、ある実数αが存在して、
が成り立つとき、f(x)は[a,b]上で積分可能であるといい、
で表し、この値をfの[a,b]上の定積分という。
（２）の関数の場合、x=1が
であり、x=1が選ばれない時は、
となるので、
となり、f(x)は[0,1]で積分可能で、
になる。
なお、
となる微分可能な関数F(x)は存在しないので、f(x)に原始関数は存在しない。
というわけで、（２）式で与えられる関数列に関しては、
が成立することを理解してもらえたと思う。
この関数列は、[0,1)では0に収束するが、x=1のとき、
となるので、x=1では収束しない。
したがって、この数列の収束域は[0,1)で、極限関数は
となる。
では、ここで問題。
問題
0<a<1とする。
で定義される関数列がある。