一様収束する関数列の性質の復習
定理1
I上の連続関数列
【証明】
a∈Iとし、ε>0を任意の正数とする。
関数列
を満たす。
特に、
である。
また、関数
よって、
したがって、f(x)はIに属する任意の点aで連続となり、f(x)はI上の連続関数である。
(証明終)
関数列
とすると、
極限関数f(x)は
となり、x=1でf(x)は不連続。
したがって、定理1からこの関数列
定理2
である。
【略証】
したがって、
(略証終)
0<a<1とする。
次の連続な関数列
は、
に[0,a]で一様収束する。
したがって、定理2より
と計算することが可能。
現に
となることから、このことを確かめることができる。
問題 次の関数列がある。
(1)
(2)
となることを確かめよ。
【略解】
(1) 関数列
である。
ゆえに、
増減表は次のようになる。
したがって、
よって、
(2) 定理2より
また、
(略解終)