完備距離空間
を距離空間とする。
任意のε>0に対し、ある自然数pが存在し、任意の任意の自然数n、mに対して、
距離空間
点aをこの点列の極限点とすると、任意の正数ε>0に対して、ある自然数pが存在し、
とすることができる。
したがって、m,n≧pならば、
となるからである。
また、コーシー列は、有界である。
【証明】
コーシー列なので、ε=1に対して、ある自然数pが存在し、
とすることができる。
m=pと固定し、
ゆえに、
とおけば、
となる。
(証明終)
距離空間
定理1
ユークリッド空間
が常に成り立つとき、fをの縮小写像という。
また、このとき、fは連続写像である。
x,y∈Xとし、yを固定すると、任意のε>0に対して、正数δを
をみたすように定めれば、任意のε>0に対して、
したがって、fは任意のy∈Xに対して連続となり、fは連続写像である。
定理2 (縮小写像の原理)
となる点(不動点)がただ1つ存在する。
【証明】
fは縮小写像だから、0<c<1であるcが存在し、
とすることができる。
Xの点x₁を任意に選び、
とおく。
自然数n,rに対して、
また、fは連続だから、
が成り立ち、これが不動点である。
次に不動点がただ1つであることを示す。
Xの点yが不動点あるとすれば、
となる。
また、d(a,y)≧0だから、
よって、不動点はただ1つである。
(証明終)