数列の極限の復習


 


自然数全体の集合Nから実数全体の集合Rへの写像


　　


を（実）数列と言い、、あるいは、単にで表す。


数列において、任意の正数εに対して、適当な自然数mを選ぶと、n>mのすべての自然数nについて、


　　


となるとき、


　　


であらわし、数列はαに収束するという。また、αを数列の極限値という。


 


定理１　（極限値の一意性）


数列が収束するならば、その極限値は１つである。


【証明】


実数αとβを数列の極限値とする。


αとβはの極限値なので、任意の正数εに対し、


　　


となる自然数m₁、m₂が存在する。


そこで、とおくと、n>mならば、三角不等式より、


　　


εは任意の正数なので、α−β=0、すなわち、α=βとなる。


（証明終）


 


定理２　（数列の極限の公式）


とするとき、次のことが成り立つ。



【略証】


（１）　c=0のときは明らか。


c≠0のとき、だから、任意の正数εに対して、ある自然数mが存在し、


　　


よって、


　　


 


（２）　だから、任意のε>0に対して、ある自然数m₁、m₂があって、


　　


よって、とおくと、


　　


 


（３）　任意のε>0に対し、


　　


とすると、ある自然数mが存在して、


　　


したがって、


　　　


 


（４）　任意のε>0に対して、


　　


とおくと、ある自然数mが存在して、


　　


となる。


このとき、


　　


よって、


　　


したがって、


　　


ゆえに、（３）より


　　


 


（略証終）


 


定理３　（ハサミ打ちの定理）


数列に対して、


　　


が成り立ち、


　　


とする。このとき


　　


である。


【証明】


数列はαに収束するので、任意の正数εに対して、ある自然数m₁があって、


　　


数列はαに収束するので、任意の正数εに対して、ある自然数m₁があって、


　　


とおくと、n>mならば、


　　


よって、


　　


（証明終）


 


定理４　（数列の大小と極限）


数列は収束し、


　　


が成り立つならば、


　　


が成り立つ。


【証明】


とし、α>βと仮定する。


数列はαに収束するので、に対して、ある自然数m₁があって、n>m₁ならば、


　　


数列はβに収束するので、に対して、ある自然数m₂があって、n>m₂ならば、


　　


したがって、とおくと、n>mならば、


　　


となり、矛盾する。


よって、α≦βである。


（証明終）


 


 


数列のすべての元について、nによらない正の定数Mがあって、


　　


となるとき、数列は有界であるという。


 


定理５　（収束する数列の有界性）


収束する数列は有界である。


【証明】


数列が実数αに収束するとすると、ε=1に対して、あるmが存在して、


　　


である。


そこで、nによらない正の定数Mを


　　


とおくと、


　　


である。


また、n>mのときは、


　　


よって、すべての自然数nについてが成り立つので、数列は有界である。


（証明終）


 


確認問題


 


問１　数列の極限の定義に、（１）、（２）、（３）、（４）のどの定義を採用してもよいことを示せ。


 


 


問２　数列が収束するとき、次の数列も収束することを示せ。



（ヒント）


　　


 


問３　a>0、b>0とする。このとき、次の極限値を求めよ。


　　


 


問４　のとき、次のことを示せ。