位相の確認問題
まずは、用語の復習。
を満たすとき、
位相空間
(1)
(2) Xの部分集合Fは、その補集合
(3) AをXの部分集合とする。Aに包まれる最大の開集合を
X={1,2,3}とすると、この冪(べき)集合
である。
ここで、
また、
さらに、I={1,2,3,4,5,6,7,8}とすると、任意のi,j∈Iに関して、
が成立する。
また、
が成立するので、
O₁=∅、O₂={1}、・・・、O₈=X={1,2,3}は、Xの冪集合
また、たとえば、
O₆={1,3}を包む最大の開集合はそれ自身O₆なので、
が成立するので、O₆={1,3}の内点は1、3である。
このことは、O₆は開集合だから開核演算子の公式より、
が成立するので、当たり前といえば当たり前の話。
問1 X={1,2,3}とし、
(1)
(2) {2,3}が
(3) {1,3}の開核
(4) {1,3}の内点を求めよ。
【略解】
(1) 省略
(2)
(3) {1,3}に包まれる最大の開集合{1}。よって、
(4) (3)より{1,3}の内点は1である。
(略解終)
問2 Xを空でない集合とし、
(1)
(2)
(3) X={1,2,3}、
【略解】
(1) 省略
(2) ∅、X
(3) A={1,2}に包まれる最大の開集合は∅。したがって、
よって、内点は存在しない。
(略解終)