第6回 集積値とワイエルシュトラスの定理
§1 集積値
一般項が
で、この部分列
この+1や–1のような点を数列の集積値という。
集積値の定義
数列
問 次の数列の集積値は何か。幾つか。
集積値の定義は次のように言い換えてもいい。
集積値の定義’
aのどのような近傍にも、数列
aの近傍というのは、ε>0とすると、開区間(a–ε,a+ ε)のことだと思って欲しい。
そして、上の定義は、どのような正の数εをとっても、数列
問の(2)の場合だと、集積値は1と0だが、a=1の近傍には、εをどれだけ小さくとっても、
と
同様に、a=0の近傍にも
たとえば、
§2 ワイエルシュトラスの定理
定理8 (ワイエルシュトラスの定理)
有界な数列には少なくとも一つ集積値が存在する。
【証明】
有界だから
つまり、
かりに[0,K]にあるとして、
になって、このどちらかに
こうした操作を繰り返してゆくと、
すると、
区間縮小法の原理から、これら閉区間すべてに共通に含まれる一つの数aが存在する。
それで、
という
したがって、aは
どして、ワイエルシュトラスの定理を証明したかというと、次回にこの定理を使って、コーシーの収束条件を証明したから。
本によっては、
定理8’ (ワイエルシュトラス・ボルツァノの定理)
有界数列は収束する部分列をもつ。
となっていると思うけれど、定理8を言い換えただけで、同じもの。
(※)