第４回　数列の極限の定理の続き


定理５

とする。

ならば、とはともに収束する数列で、

　　
である。

【証明】

　　
だから、は上に有界の増加数列であり、は下に有界の減少数列なので、

　　

が存在する（定理４）。

　　

（証明終了）

定理６　（区間縮小法）

閉区間の列において

　　

ならば、すべての閉区間に含まれる一点αが存在し、

　　

である。

上限・下限、有界な単調数列の収束、区間縮小法の順番で証明したけれど、

有界な単調数列の収束→区間縮小法→上限・下限、

区間縮小法→上限・下限→有界な単調数列の収束

の順に証明することも出来る。

ここで、大学の解析の演習書などに載っている有名な問題（算術幾何平均）をやる。

その前に、下準備として

相加平均≧相乗平均

を証明する。

a≧ 0, b ≧ 0 のとき、

　　

である。

　　

だ・か・ら、 相加平均≧相乗平均


問題

　　

とする。

　　

を示し、

　　

であることを示せ。

【証明】

　　

さらに

　　

さらに、相乗平均≦相加平均だから

　　

となり、

　　

となる。

定理５からとはともに収束する数列となる。

　　

として、

　　

に、を代入すると

　―――nが十分大きいならば、と見なせる―――

　　

となり、

　　

（証明終了）


定理８　（はさみうちの定理）

でならば

　　

である。

【証明】

だから

　　

である。

　　

とすれば、n≧mで

　　

となり、

　　

条件より

　　

だから、

　　

となり、n≧mで

　　

このことより

　　

（証明終了）