第５４回 一様収束する関数列の性質

第５４回　一様収束する関数列の性質

 

 

定理１　（連続性）

区間Iで連続な関数列がf(x)に一様収束するならば、f(x)はIで連続である。

【証明】

はf(x)に一様収束するので、任意の正数ε/3>0に対して、ある自然数が存在し、任意のx∈Iに関して、

　　

a∈Iとすると、は点aで連続なので、任意の正数ε/3>0に対して、あるがあって、

　　

したがって、任意のε>0に対して、にすると、

　　

（証明終）

 

問１　次の関数列は各点で収束するが、一様収束でないことを示せ。

【解】

（１）　任意の自然数nに対しては[0,1]で連続だが、その極限関数

　　

は[0,1]で連続でないので、は一様収束でない。

 

（２）　任意の自然数nに対しては[0,∞)で連続であるが、その極限関数

　　

は[0,∞)で連続でないので、は一様収束でない。

（解答終）

 

で定義される関数列は定数関数f(x)=0に各点収束し、また、f(x)=0はx≧0で連続であるが、はf(x)=0に一様収束しない。

したがって、この定理の逆は成立しない！！

 

 

問２　で定義される関数列は定数関数f(x)=0に各点収束するが、はf(x)=0に一様収束しないことを示せ。

【解】

x=0のとき、任意の自然数nに対して。

また、x>0のとき

　　

だから、は定数関数f(x)=0に収束する。

関数の増減を調べるためにを微分すると、

　　　　

となるから、はx=1/nのときに極大かつ最大。

また、

　　

だから、

　　

ゆえに、

　　

よって、はx≧0でf(x)=0に一様収束でない。

（解答終）

 

 

 

定理２　（定積分）

有界閉区間I=[a,b]で連続な関数列がIでf(x)に一様収束するならば、

　　

【証明】

連続な関数列が[a,b]でf(x)に一様に収束するので、定理１より、f(x)は[a,b]で連続であり、積分可能。

また、はf(x)に一様収束するので、任意の正数ε>0に対して、

　　

したがって、

　　

（証明終）

 

問３　とするとき、関数列は定数関数f(x)=0に一様収束する。このとき、が成り立つことを確かめよ。

【解】

　　

したがって、

　　

（解答終）

 

問４　関数列の極限関数をf(x)とするとき、次の関数列はが成り立つか。

【解】

（１）

　　

また、極限関数は

　　

だから、

　　

よって、

　　

 

（２）

　　

また、極限関数はf(x)=0だから

　　

（解答終）

 

したがって、一般に、この定理も逆が成立しないことがわかる。

 

 

問５　

　　

で定められる関数列について、次の問に答えよ。

（１）　関数列は[0,∞)で一様収束であることを示せ。

（２）　は成り立つか。

【解】

（１）　x∈[0,∞)について

　　

であるから、だから、ハサミ打ちの定理より

　　

また、

　　

だから、はf(x)=0に一様に収束する。

 　　

（２）

　　

一方、

　

だから、

　　

（解答終）

 

 

定理３　（微分）

区間IでC¹級な関数列がI上でf(x)に各点収束し、さらに、がI上でg(x)に一様収束するならば、

　　

【証明】

a∈Iとし、aを固定すると、はIで連続なので、

　　

また、はf(x)に各点収束し、はg(x)に一様収束するので、定理２より

　　

g(x)はIで連続なので、

　　

よって、f(x)はI上で微分可能で

　　

（証明終）