第５３回 一様収束
前回の関数列の（各点）収束の復習を兼ねて、関数列の各点収束の定義を再掲する。
定義 （各点収束）
任意の正数ε>0と任意のx∈Iに対して、ある自然数N(x,ε)が存在して、n≧N(x,ε）を満たす任意の自然数nに関して、
が成り立つとき、関数f(x)を関数列
各点収束の代表例として
である。
0<x<1の場合、任意のε>0に対して、
とすれば、
x=0の場合、任意のε>0に対し、
x=1の場合、 任意のε>0に対し、
で与えられる関数列
に各点収束するが、任意のε>0に対して、点xの値に無関係に、
と定めると、任意のx≧0の点で
が成立する。
定義 （一様収束）
任意の正数ε>0に対して、ある自然数N(ε)が存在して、任意のx∈Iと任意のn≧N(ε)に対して、
これを論理記号で書くと、
であるから、
すなわち、
したがって、
あるε>0が存在し、どのような自然数Nを与えても、
を満たす点x∈Iが存在すれば、
【解】
任意のx>0に関して
ε=1とし、任意の自然数Nに対しx=1/N∈(0,∞)にとると、
任意のε>0に対して、
よって、
にとれば、
（解答終）
もちろん、
任意のε>0に対して、
になるためには、
よって、任意の正数ε>0に対して、
とすれば、
としてもよい。
定理 （一様収束の必要十分条件）
【証明】
I上で
が成立する。
任意のx∈Iに対して、
が成り立つので、
（証明終）
問２ 次の関数列は各点収束するが、一様に収束しないことを示せ。
【解】
（１）
したがって、
よって、
ゆえに、
（２）
（解答終）
【別解】
（１） ε=1/2>0とすると、任意の自然数Nに対して、x=1/Nとすると
したがって、一様収束でない。
（２） ε=1>0とすると、任意の自然数Nに対して、x=Nとすると、
よって、一様収束でない。
（別解終）
問３ 次の関数列が一様収束することを示せ。
【解】
よって、極限関数f(x)=0。
また、
よって、
（２）
よって、
また、
ゆえに、ハサミ打ちの定理より
また、
（解答終）
さて、I=[0,1)とし、
となるので、
定義 （広義一様収束）
区間Iで定義された関数列
定義から、関数列