正項級数 その２

正項級数　その２

 

定理７

区間[1,∞)で定義された連続関数f(x)が、f(x)>0かつ単調減少とする。

このとき、正項級数と広義積分は同時に収束・発散する。

【証明】

kを自然数とする。

k≦x≦k+1とすると、f(x)は減少関数なので、

　　

したがって、

　　

よって、

　　

したがって、が収束するならば、

　　

となり、は収束する。

が発散するとき、から広義積分も発散する。

（証明終）

 

 

α>0に対して、

　　

を一般調和級数という。

 

 

定理８　（一般調和級数の収束・発散）

一般調和級数が収束する必要十分条件はα>1である。

【証明】

α>0とすると、関数は[1,∞)においてf(x)>0かつ減少関数である。よって、正項級数と広義積分は同時に収束・発散する。

ところで、広義積分が収束する必要十分条件はα>1であったから、正項級数も同じ条件で収束する。

（証明終）

 

問１　次の級数の収束・発散を判定せよ。

【解】

（１）　とすると、f(x)>0かつf(x)は単調減少関数。

　　

したがって、は発散する。

 

（２）　とすると、f(x)>0かつf(x)は単調減少関数。

　　

したがって、は収束する。

（解答終）

 

 

定理９　（ダランベールの判定法）

正項級数において、

　　

が存在するとき、

（１）　ならばは収束する

（２）　r>1ならばは発散する。

【証明】

（１）　r<ρ<1であるρを取り、このρに対して適当な自然数Nを取ると、

　　

したがって、

　　

よって、このとき、正項級数は収束する。

 

（２）　1<ρ<rであるρを１つとり、このρに対して適当な自然数Nを定めると、

　　

したがって、

　　

よって、は発散する。

（証明終）

 

定理１０　（コーシー・アダマールの判定法）

正項級数において、

　　

であるとき、次のことが成り立つ。

（１）　0≦r<1ならばは収束する。

（２）　r>0ならばは発散する。

【解】

（１）　r<ρ<1であるρを１とり、このρに対して適当な自然数Nを定めると、

　　

とすることができる。

よって、

 

0<ρ<1より、は収束するので、は収束する。

 

（２）　1<ρ<rであるρを１つとって、このρに対して適当な自然数Nを定めると、

　　

よって、。

ρ>1より、は発散するので、は発散する。

（証明終）

 

（注）

ダランベール、コーシー・アダマールの判定法ともに、r=1のとき、収束・発散の判定が行えないので、この点は注意すること。

 

 

問２　次の級数の収束・発散を判定せよ。

【解】

（１）　とおけば、

　　

よって、ダランベールの判定法により、収束する。

 

（２）　とおくと、

　　

したがって、ダランベールの判定法より、発散する。

（解答終）