無限級数


 


 


数列が与えられたとき、


　　


とおく。


数列が収束するとき、級数は収束するという。


また、を級数の和といい、と表す。


すなわち、


任意の正数ε>0に対し、ある自然数Nが存在し、


　　


また、収束しないを発散級数という。


 


 


が収束するとき、は絶対収束するという。は収束するが絶対収束しないとき、は条件収束するという。


 


 


特に、が等比数列


　　


であるとき、部分和は


　　


になるので、｜r｜<1のとき


　　


は収束し、それ以外では発散する。


 


無限級数の定義とコーシーの収束条件から、ただちに、次のことが言える。


 


 


定理１　（無限級数の収束に関する必要十分な条件）


級数が収束するための必要条件は、任意のε>0に対し、次の自然数Nが存在することである。


　　


 


 


定理２


が収束するならば、である。


【証明】


が収束するので、定理１より、任意のε>0に対して、ある自然数Nが存在し、


　　


m=n+1とおくと、任意のε>0に対し、


　　


よって、


（証明終）


 


【別証】


　　


とおくと、



仮定より、は収束するので、とおくと、


　　


（別証終）


 


 


定理２の系


ならばは発散する


 


 


定理２の逆、つまり、「ならばは収束する」は一般に成り立たない。


たとえば、であるがは収束しない。


 


 


問１　が収束しないことを示せ。


【解】


ε=1/2>0とすると、どのような自然数Nに対しても、m=2n>n≧Nにとると、


　　


よって、は収束しない。


（解答終）


 


 


定理３


λ、μを実数とする。


がともに収束するならば、も収束し、


　　


【証明】


λ=μ=0のときは、明らか。


同時にλ=0、μ=0でないものとする。


は収束するので、任意のε>0に対して、ある自然数Nが存在して


　　


よって、三角不等式から、


　　


（証明終）


 


 


問２　次の無限級数の和を求めよ。



【解】


（１）


　　


｜a｜<1だから、


よって、


　　


したがって、は収束し、


　　


 


（２）　とおくと、


　　


よって、


　　


したがって、


　　


よって、


　　


 


（３）


　　


したがって、


　　


（解答終）


 


 


定理４


が絶対収束すれば、は収束する。


【証明】


が絶対収束する、すなわち、が収束するので、定理１より、任意の正数ε>0に対して、ある自然数Nが存在し、


　　


よって、が絶対収束すれば、は収束する。


（解答終）


 


問３　は収束するが、絶対収束しない（無限）級数の例を１つあげよ。