数列の極限
§１ 数列の極限
定理０ 任意の正数ε>0に対して、
ならば、a=0である。
【証明】
a>0とすると、a/2>0。
εは任意の定数なので、ε=a/2>0とおくと、
となり矛盾。したがって、a=0である。
（証明終）
自然数全体の集合
数列
となるとき、
であらわし、数列
すなわち、
であるとき、
と表す。
定理１ （極限値の一意性）
【証明】
となる自然数N₁、N₂が存在する。
εは任意の正数なので、α−β=0、すなわち、α=βとなる。
（証明終）
定理２ （数列の極限の公式）
【略証】
（１） c=0のときは明らか。
c≠0のとき、
よって、
（２）
（３） 任意のε>0に対し、
とすると、ある自然数Nが存在して、
したがって、
（４） 任意のε>0に対して、
とおくと、ある自然数Nが存在して、
となる。
このとき、
よって、
したがって、
ゆえに、（３）より
（５）
三角不等式より、
（証明終）
定理３ （ハサミ打ちの定理）
数列
が成り立ち、
とする。このとき
である。
【証明】
数列
数列
よって、
（証明終）
定理４ （数列の大小と極限）
数列
が成り立つならば、
が成り立つ。
【証明】
数列
数列
となり、矛盾する。
よって、α≦βである。
（証明終）
定理５ （収束する数列の有界性）
収束する数列は有界である。
【証明】
数列
である。
そこで、nによらない正の定数Mを
とおくと、
である。
また、n≧Nに関しては
よって、すべての自然数nについて
（証明終）
集合
定理６ （単調数列の収束）
数列
【証明】
上に有界な単調増加数列の場合について証明する。
上限の定義より、
（１） すべての自然数nについて、
（２） 任意の正数εに対して、
となる
したがって、n≧Nであるすべてのnについて、
よって、上に有界な単調増加数列は収束する。
（証明終）
定理７ （カントールの区間縮小法の原理）
閉区間
である。
【証明】
条件
である。
よって、数列
である。
したがって、
である。
となるので、c=α。
よって、
（証明終）