Γ(1/2)の値を求める
ガンマ関数
nが自然数のとき、ガンマ関数の値は
となるが、これだけでは、応用上、何かと不便なので、ガンマ関数の値
を求めることにする。
ガンマ関数の定義式（１）より、
x=t²とし置換積分すると、x=0にはt=0、x=∞にはt=∞が対応し、また、
となるので、これは広義積分
の値を求める問題に帰着することができ、
になる。
２重積分の広義積分を用いると、
であるから、
x=rcosθ、y=rsinθと置き、極座標変換すると
となるので、
したがって、
と求めることができる。
なのですが、
以下、
前回、証明したウォリスの公式を
を用いて、Γ(1/2)=√πを求める方法を紹介することにする。
問題
【解】
（１） x≧0とし、0≦t≦xとすると、
したがって、
左辺と中辺より、
中辺と右辺より
したがって、
（２） x=√ntとし、置換積分すると、dx=√ndtだから
（３） （１）より
したがって、
t=tanθとおくと、
また、
なので、
また、nが偶数のとき
だから、
（４）
また、（１）より
したがって、
t=sinθと置き、置換積分すると、dt=cosθdθだから、
したがって、
（５） （３）と（４）より
また、ウォリスの公式より
したがって、ハサミ打ちの定理より
（解答終）
よって、
ガンマ関数の公式
を用いると、
したがって、一般に、
ただし、0!=1とする。