第３９回 積分の平均値の定理とテーラー展開
定理１ 積分の平均値の定理
f(x)が[a,b]で連続であるとき、
を満たすξが存在する。
【証明】
f(x)が[a,b]で連続なので、f(x)は[a,b]で最小値m、最大値Mをもつ。
m=Mのとき、すなわち、f(x)が定数のとき、（１）が成り立つのは明らか。
そこで、m<Mとすると、
b−a>0で割ると、
したがって、中間値の定理より
を満たすξがa<ξ<bに存在する。
よって、
（証明終）
この定理はさらに次のように拡張することが出来る。
定理２ （積分の第一平均値の定理）
f(x)が[a,b]で連続、g(x)が[a,b]で非負連続のとき、次の関係を満たすξが存在する。
【証明】
g(x)が[a,b]で恒等的に0のとき、（２）が成り立つのは明らか。
そこで、g(x)が[a,b]で恒等的でない、すなわち、
f(x)は[a,b]で連続なので、[a,b]で最小値m≦最大値Mをもつ。
m=Mのとき、すなわち、f(x)が[a,b]で定数のとき、（２）が成り立つのは明らかなので、m<Mとすると、
[a,b]において
よって、
中間値の定理より
よって、定理は証明された。
（証明終）
問１ f(x)が[a,b]でC¹級であるとき、
であることを示せ。
【証明】
積分の平均値の定理より
よって、
（証明終）
問２ f(x)が[a,b]でC²級であるとき、
が成り立つことを示せ。
また、これを利用し、
が成り立つことを示せ。
【証明】
右辺を次のように部分積分すると、
b−xは[a,b]で非負連続なので、積分の平均値の定理より
を満たすξが存在する。
また、
ゆえに、
（証明終）
さらに、
同様に部分積分を繰り返すと、
を得る。
積分の第一平均値の定理より
となるので、
とテーラーの定理を得ることができる。
定理３ （積分形のTaylor展開）
f(x)が[a,b]で