第３３回　無理関数の不定積分


 


被積分関数が無理関数を含む場合、適当な変数変換をすると、不定積分を求めることができる場合がある。


 


定理１


R(x,y)がxとyの有理関数ならば、はとおくと、有理関数の積分に帰着できる。


 


問１　次の不定期分を求めよ。



【解】


（１）　t=√xと置き、両辺を２乗すると、x=t²。したがって、dx=2tdt。


よって、


　　


 


（２）　とおき、両辺を３乗してxについて解くと


　　


ゆえに、


　　


 


 


（２）　とおき、両辺を２乗し、xについて解くと


　　


したがって、


　　


よって、


　　


（解答終）


 


 


定理２


R(x,y)がxとyの有理関数ならば、は次の変換によって有理関数の積分に帰着する。


（１）　a>0のとき、


（２）　のとき、


　　


 


問２　次の不定積分を求めよ。



【解】


（１）　とおくと、


　　


両辺を２乗してxについて解くと、


　　


ゆえに


　　


 


（２）　とおくと


　　


両辺を２乗してxについて解くと


　　


したがって、


　　


ゆえに


　　


 


（３）　だから、


　　


とおき、この両辺を２乗すると、


　　


よって、


　　


ゆえに


　　


（解答終）


 


問３　次の問に答えよ。


（１）　次の不定積分を求めよ。


　　


（２）　（１）の結果を利用して、次の不定積分を求めよ。


　　


【解】


（１）


　　


 


（２）


　　


t=x+1/2とおくとdx=dtだから


　　


 （解答終）