第２４回 テーラー展開
定理 （テーラーの定理）
f(x)がa、bを含む区間Iでn回微分可能ならば、aとbの間の適当なcを選べば
が成り立つ。
【証明】
とし、F(a)=f(b)となるように定数Kを定める。
すると、F(a)=F(b)=f(b)となり、F(x)はロールの定理の条件を満たす。
F(x)を微分すると、
したがって、ロールの定理より
を満たすcがaとbの間に存在し、b≠cだから
である。
ゆえに、
（証明終）
n=1とすると、平均値の定理が得られる。
また、
b=x、
ここで、
関数f(x)が
となる点では、
となる。この級数をf(x)のx=aまわりのテーラー級数という。
特に、a=0としたときのテーラー級数
をマクローリン級数という。
問１ 次の関数をマクローリン展開せよ。
【解】
（１）
だから、
（２）
だから、
（３）
だから、
（解答終）
であることに注意。
ここで、さり気なく、
無限級数、べき級数のところで、無限級数の収束判定法を紹介するので、それまで保留ということで。
問２ 次の関数をマクローリン展開せよ。
【解】
（１） f(x)=sin xのn次導関数は
だから、
したがって、
（２） f(x)=cos xのn次導関数は
だから、
よって、
（解答終）
（注意）
in x、cos xのマクローリン展開については
とするものもあるので注意。
問２の（１）、（２）の剰余項に注目すると、それぞれ、
なので、マクローリン級数は収束し、