第１０回 導関数
関数f(x)が開区間Iの各点xで微分可能なとき、f(x)はIで微分可能であるといい、対応x→f'(x)によって定められた関数f'(x)をf(x)の導関数という。
すなわち、
f(x)の導関数f'(x)を求めることを微分するという。
（１）以外に、関数y=f(x)に対して、その導関数を
などで表す。
関数f(x)が開区間(a,b)で微分可能で、かつ、点aで右側微分可能で点bで左側微分可能なとき、関数f(x)は閉区間[a,b]で微分可能であるという。
問１ 次の関数の導関数を求めよ。
【解】
（１） f(x)=cとおくと、
（２） f(x)=xとおくと
（３） f(x)=x²とおくと、
（４） f(x)=x³とおくと
（解答終）
問１の（２）〜（４）から、nを自然数とするとき、
が成り立つことが予想される。
問２ 次のことが成立することを示せ。
【解】
（解答終）
x⁰=1なので、定数関数f(x)=1を形式的にf(x)=x⁰と考え、n=0のときも①が成り立つとすると、
となるので、
と拡張することができる。
問３ 次の導関数を求めよ。ただし、x≠0とする。
【解】
（解答終）
となるので、nが負の整数のときにも拡張することができて、結果、次の公式を得る。
問４ 次の関数を微分せよ。
【解答】
（解答終）
問５ 次の関数を微分せよ。
【解】
（解答終）
問５から、三角関数に関する次の微分公式が得られた。
なお、問５の解答では、三角関数の極限
を使っていることに注意。
問６ 次の関数を微分せよ。
【解】
（解答終）
問５の解答では、
という極限の公式を使っていることに注意。
を底にした対数、すなわち、自然対数