第９回 微分可能と微分係数
点aの近傍で定義された関数f(x)が、点aにおいて次の極限値
をもつとき、この極限値を点aにおけるf(x)の微分係数であるといい、
で表す。また、このとき、f(x)は点aで微分可能であるという。
微分係数の定義式（１）において、x−a=hとおくと、x→aならばh→０となるので、次のように書き換えることができる。
関数f(x)に対して、
が存在するとき、この極限値をf(x)の点aにおける右側微分係数といい、
で表す。
また、
が存在するとき、この極限値をf(x)の点aにおける左側微分係数といい、
で表す。
定理１ （微分可能の必要十分条件）
関数f(x)が点aで微分可能である必要十分な条件は、f(x)が点aで右側、左側微分可能で、かつ、
【証明】
関数の極限の定理２より、
が存在するための必要十分条件は、
が存在し、その値が一致することである。
よって、証明された。
（証明終）
定理２（微分可能な関数の連続性）
関数f(x)が点aで微分可能であれば、f(x)は点aで連続である。
【証明】
x≠aのとき、
f(x)は点aで微分可能なので、
したがって、
となり、f(x)は点aで連続である。
（証明終）
しかし、x>0のとき、f(x)=xなので、
x<0のとき、f(x)=−xなので、
となり、
定理１より、f(x)は点x=0で微分可能でない。
問１ 次の関数について、
【解】
（１）
右側、左側微分係数のどちらも存在しない。
（解答終）
問２ 次の関数はx=0で微分可能か。
【解答】
（１） x≠０とすると、
x→0のとき、
（下図参照）
であり、
したがって、
よって、x=0で微分可能で、f'(0)=0である。
（解答終）
問３ f(x)は点x=aで微分可能であるとする。このとき、次の値を求めよ。
【解】
（解答終）