最近数学の記事を書いていない、本で見つけた次の問題を解いてみるにゃ。


 


問題　を有界閉集合の列で、単調減少とすると、であることを証明せよ。


 


見るからに、と仮定し、ハイネ・ボレルの定理を使って解けという問題。


ということで、この方針にしたがって、解くことにする。


 


【証明】


と仮定すると、


　　


になる。


は開集合だから、は有界閉集合F₁の開被覆である。


よって、ハイネ・ボレルの定理より、有限被覆がある。


一方、だから、であるので、


　　


となるが存在することになり、に矛盾する。


（証明終）


 


この証明では、ド・モルガンの法則


　　


や、


　　


などを使っている。


ここで、Rは実数全体の集合で、はFの補集合を表す。


 


さてさて、


　　


となるが存在すると、何故、に矛盾するかを答えてもらおうじゃないか。


書くまでもないと思うが、念の為に、Nは１以上の整数だケロよ。


ハイネ・ボレルの定理から、開被覆の中から適当なものを有限個選び


　　


とすることができ、としたものだからね。


 


答えられないヒトは、次のことを証明するとヨロシ。