ちょっとお前らに質問
次の２つの集合AとBがあるとする。
Aのすべての元aはBの元であり、同時に、Bのすべての元bはAの元であるので、集合の相等の定義から、
になる。
一方、集合Aの要素の個数（濃度）をn(A)で表せば、n(A)=3、集合Bの要素の個数n(B)=６――誰がなんと言おうが、Bには集合の元が６つ――なので、
になる。
集合の濃度論的には、
になってもらわないと困る。
（１）式が成り立たないと、数学の基礎が揺らいでしまう。これは由々しき問題だケロ(^^ゞ。
この絶体絶命のピンチをどう乗り越えたらいいのか、お前ら、考えるにゃ。
ここまでは前振りなので、真に受けるなよ。
数学には集積点と呼ばれるものがある。
集積点の定義は、たとえば、次のようなものである。
定義 AをXの部分集合であるとする。Xの点xがA−{x}の触点であるとき、xをAの集積点という。
これでは、何を書いてあるかわかりにくいと思うので、改めて、集積点を次のように定義することにする。
任意の正数ε>0に対し、
となるa∈Aが存在するとき、xをAの集積点という。（少しアレンジを加えているが、とある数学の本に出ている定義。）
――
では、この集積点の定義を踏まえて、次の問題を解いてもらおうか。
問題 次の問に答えよ。
（１）
（２）
この問題の集合の場合、集合A、Bの濃度｜A｜、｜B｜はともに可算濃度
しかし、集合Aの任意の元は集合Bの元であり、かつ、集合Bの任意の元は集合Aの元でもあるので、
が成立し、A、Bの集積点はともに０になってしまう。
こんなことをことさら問題で問うとているからには、０以外にBの集積点が存在するに違いない。いやいや、これは引掛け問題で、Bの集積点は０だけかもしれない(^^ゞ。
そして、
不親切きまわりないことに、この問題と集積点の定義（２）が出ている数学の本には、この問題の答が載っていない！！ のであった。
ところで、触点って何だ。
任意の正数ε>0に対し、
であるとき、xは集合Aの触点という。
ここで、
なお、Rは実数全体の集まりである。