第７回 複合条件命題と真理集合
§１ 条件命題の否定とその真理集合
条件命題a(x)に対して、「a(x)でない」という条件命題をa(x)の否定と言い、記号
また、Aをa(x)の真理集合、すなわち、
とするとき、a(x)の否定
ここで、
また、a(x)の二重否定の真理集合は
である。
§２ 条件命題の連言、選言とその真理集合
条件命題a(x)、b(x)の真理集合をそれぞれA、Bとする。
このとき、
「a(x)∧b(x)」と「x∈Aかつx∈B」
「a(x)∨b(x)」と「x∈Aまたはx∈B」
は同値。
したがって、
とすると、次の関係が成立する。
また、条件命題a(x)、b(x)、c(x)の真理集合をA、B、Cとするとき、
が成り立つので、真理集合A、B、Cの間には次の結合法則が成り立つ。
問 a(x)、b(x)の真理集合をA、Bとするとき、真理集合AとBの間には次の交換法則が成り立つことを確かめよ。
§３ 分配法則とド・モルガンの法則
条件命題a(x)、b(x)、c(x)の真理集合をそれぞれA、B、Cとする。
条件命題には分配法則
が整理するので、真理集合A、B、Cの間には次の関係が成立する。
また、ド・モルガンの法則
が成り立つので、
集合と論理が入り乱れていて、胡散臭い話だな〜。多大の疚しさと後ろめたさを感じつつ書いているので、 書くのが嫌になってしまう(^^ゞ
問題 x、yを含む条件命題a(x,y)、b(x,y)が
であるとき、次の条件命題の真理集合を求め、座標平面上に図示せよ。
【解答】
a(x)、b(x)の真理集合をそれぞれA、Bとすると、
で、Aはy=x²+1の下側、Bはy=x−1の上側である。