極限の図形への応用
問題１ 半径rの円Oの周をn等分したときのしたときの１つの弦をABとするとき、△OABの面積を求め、これを利用して円の面積Sを求めよ。
【解】
よって、
（解答終）
このように、半径rの円に内接する正多角形の極限を用いて、円の面積πr²を求めるのだとすると、
高校以来おなじみの三角関数の極限の公式
の証明は、循環論法となり、証明にならない。
何故ならば、この公式の証明に円（弧）の面積を使っているから！！
とおくとき、
（１） f(θ)を求めよ。
（２）
【解】
（１） 直線OCと弧ABの交点をD、Cから半径OAに下ろした垂線の足をHとする。
OA=R、CH=rとすると、
rについて解くと、
したがって、
（２）
（解答終）
（１） △ABDの面積をa。lとθで表わせ。
（２） lをa、bとθで表わせ。
（３） a、bを一定に保ち、θを0に近づけるとき、
【解】
（１）
（２）
また、
△ABC=△ABD+△ADCだから、
（３）
（解答終）
（３）の別解として、次のものをあげておく。
問題４ 直角三角形ABCにおいて、∠A=π/2、AB=a（一定）とする。頂点AからBCに下ろした垂線の足をHとし、∠B=θとするとき、次の値を求めよ。
【解】
（１）
したがって、
（２）
よって、
（解答終）
問題５ 半径rの円周上の定点Aから弦AP、および接線ATを引き、AP=TAになるようにに、直線TPとAをAを一端とする直径の延長をQとする。
点Pが円周上を限りになくAに近づくとき、線分AQの長さはどうなるか。ただし、ATはAを一端とする直径に関してAPと同じ側にあるものとする。
【解】
∠PATをθとすると、条件より、
また、∠Q=θ/2（注）であるから、
（解答終）
（注）
接弦定理から∠ ABP=∠TAP。
AからPTに下ろした垂線の足をHとすると、△THA∽△TAQ。
また、△ATPは条件よりAP＝TAの二等辺三角形だから、∠TAH＝θ/2となり、これから∠Q=θ/2である。