少しだけ行列式と外積のお話
高校の数学で、現在、行列は学ばないので、行列や行列式に馴染みのない、あるいは、馴染めないヒトが増えているように思う。
そこで、少しだけ、行列式の話をする。
２次の正方行列
の場合、行列式は
で定義される。
この行列式を使うと、連立方程式
の解は、｜A｜=ad−bc≠0のとき、
と、行列式を用いて求めることができる。
そして、
連立３元一次方程式
の解は、
となる。
（４）、（５）などをクラーメルの公式という。
そして、このクラーメルの公式は、より一般の連立n元一次方程式にも拡張ができ、行列式の具体的な計算法を知らずとも、その解を形式的に示すことができる。
と同時に、このクラーメルの公式から、未知数の係数が作る行列式
であるとき、連立方程式の解が１つに定まらないことがわかる。
何か、凄いと思わない(^^)
連立千元一次方程式であろうが、一万元の連立方程式であろうが、このクラーメルの公式を使えば、たちどころに求めることができるはずなんですが、実際、このクラーメルの公式がコンピュータを用いた連立方程式の解法で使われることはない。
クラーメルの公式は計算量が膨大になるので、いくら単純な繰り返し計算を高速に計算できるコンピュータとはいえ、計算時間がトンデモなくかかってしまうんでね。
とはいえ、連立方程式の解を求める上で、行列式がいかに便利なものであるかは、理解してもらえたのではないか。
以上は、代数的なお話。次に、幾何学的な観点から行列式を見てみることにする。
このとき、面積Sは
となる。（θ=0、πのとき、
と三角関数の関係式
を使うと、（７）は
となる。
また、
であるので、
となる。
ここで、
に注目すると、
となっている。
つまり、行列
また、基本ベクトル
の行列Aによる像は
である。
したがって、行列式の絶対値は、xy平面の基本ベクトル
さらに、このことから、行列式は、原像と一次変換Aによるその象の面積の拡大率をあらわすと考えることもできる。
なぜ、重積分の変換公式で
と、ヤコビアンJ
が藪から棒に出てくるかといえば、ヤコビアンは面積の拡大縮小率だからだ。
さてさて、３次元ベクトル
だにゃ。
特に、
となる。
そして、