位相の問題 距離空間の開核、閉包作用子

位相の問題　距離空間の開核、閉包作用子

 

§１　距離空間の位相の用語説明

 

dをX上の距離（関数）とする。

 

１　x∈Xと、任意のε>0に対し、

　　

となるXの部分集合をxのε‐近傍や開球という。

 

２　x∈Xに対して、Xの部分集合Uが、あるε>0が存在し、

　　

を満たすとき、Uはxの近傍といい、xの近傍全体の集合を近傍系という。

 

３　Xの部分集合Aに対し、x∈Xが、あるε>0が存在し、

　　

を満たすとき、xをAの内点という。Aの内点全体の集まりをAの開核といいなどで表す。

 

４　Xの部分集合Aに対し、x∈Xが、任意のε>0について、

　　

を満たすとき、xをAの触点という。Aの触点全体の集まりをAの閉包といい、などで表す。

 

５　Xの部分集合Aがをみたすとき、AをXの開集合という。

 

６　Xの部分集合Aがをみたすとき、Aをxの閉集合という。

 

７　Xの部分集合Aに対し、x∈Xが、任意のε>0について、

　　

を満たすと、xをAの境界点という。Aの境界点全体の集まりをAの境界といい、などで表す。

 

８　Xの部分集合Aに対し、x∈Xが、任意のε>0について、

　　

をみたすとき、xをAの集積点といい、Aの集積点全体の集まりをAの導集合といい、などで表す。

 

定理１　を距離空間、をXの開集合全体の集まりとする。このとき、次のことが成り立つ。

【証明】

（１）　略

（２）　x∈O₁∩O₂とすると、だから、あるε₁>0が存在し、B(x;ε₁)⊂O₁、あるε₂>0が存在し、B(x;ε₂)⊂O₂とできる。

そこで、正数εを

　　

にとれば、

　　

よって、

　　

（３）　x∈O₁∪O₂とすると、x∈O₁またはx∈O₂である。だから、

　　

をみたすが存在する。

したがって、

　　

よって、

　　

（証明終）

 

定理２　AをXの部分集合とする。

　Aが開集合⇔Aの補集合は閉集合

 

 

 

§２　問題編

 

問題１　を距離空間、AをXの部分集合とする。次のことを示せ。

【解】

（解答終）

 

問題１は、閉集合の補集合は開集合であることを、開集合の補集合は閉集合であることを表している。

 

問題２　を距離空間、A、BをXの部分集合とするとき、次のことを示せ。

【解】

（１）　すべてのx∈X、すべてのε>0に対して。したがって、。

 

（２）　とすると、あるε>0が存在して。したがって、

 

（３）　（２）より、である。とすると、あるε>0が存在して、とすることができる。y∈B(x;ε)に対して、δ=ε−d(x,y)>0とおき、とすると、

　　

よって、

　　

となり、。つまり、

ゆえに、

したがって、

 

（４）　（３）よりはともに開集合なので、は開集合。ゆえに、任意のに対してとなるε>0が存在する。さらに（２）より、となり、。すなわち、。

とすると、となるε>0が存在する。よって、

　　

すなわち、

　　

よって、

　　

したがって、

　　

（解答終）

 

 

問題３　を距離空間、AとBをXの部分集合とする。このとき、次のことを示せ。

【解】

問題１の（１）と問題２の結果を使う。

 

（１）　

 

（２）　より

　　

 

（３）　より、

 

（４）　より、

　　

したがって、

　　

よって、

　　

（解答終）

 

 

問題４　を距離空間、AとBをXの部分集合とする。このとき、次のことを示せ。

（１）　はAに包まれる最大の開集合である。

（２）　はAを包む最小の閉集合である。

（３）　

（４）　

【解】

（１）　よりは開集合。Oを開集合でO⊂Aとすると、任意のx∈Oに対して、あるε>0が存在して、B(x;ε)⊂G。

また、G⊂Aであり、B(x;ε)⊂A。

したがって、

　　

よって、は集合Aに包まれる最大の開集合である。

 

（２）　よりは閉集合。Fを閉集合でA⊂Fとする。

ならば、任意のε>0に対して、

　　

よって、

　　

ゆえに、

　　

よって、

　　

となり、はAを包む最小の閉集合である。

 

（３）

　　

 

（４）　

（解答終）