便利だが超〜危険な定理
このブログ、「ねこ騙し数学」は、原則として、極限計算でロピタルの定理を使わない、つまり、反ロピタルの定理の方針を貫いている。
古くからこのブログの数学の記事を読んでいるヒトは、このことをよく知っていると思う。
そこで、大学の微分積分などの解析で使われている、何を書いているかわからなくて、ロピタルの定理以上に危険な定理を紹介することにする。
定理 次の２つは同値である。
（１） 集合Fは閉集合である
（２） 点列
この定理があまりに危険なためなのだろうか、
洲之内治男の「ルベーグ積分入門」（内田古鶴圃）には、この定理を紹介すると同時に次のような注意書きがついている。
【注意】 この定理の（２）⇒（１）は、解析学で集合が閉集合であることを示すのに用いられる。ところで、（この）定理は、Fの任意の点列がFの中に極限をもつといっているのではない。ただ単に、Fの点列が極限をもつならば、その極限は必ずFの中に入るに行っているに過ぎない。
そして、この注意書きのあとに、この定理の応用として、次の例が紹介されている。
例 閉集合[a,b]が閉集合であることをこの定理を用いて証明してみよう。
それには、
ならば、x∈[a,b]であることを示せばよい。
より、 である。
とすると、極限の性質より、a≦x≦bは明らか（であり、x∈[a,b]。よって[a,b]は閉集合である）。
この例の証明を読んで納得できるヒトは、いったい、どれくらいいるのだろうか(^^ゞ
この例を真似れば、A=[a,b]×[c,d]、すなわち、
が閉集合であることの証明は次のようになるのであろう。
【証明(・・?】
それには、
である。
とすると、極限の性質より、
は明らかであり、(x,y)∈[a,b]×[c,d]。
よって、A=[a,b]×[c,d]は閉集合である。
（証明(・・?終）
２次元ユークリッド空間R²の場合、
このとき、
が成立するから、うるさいことをいわなければ、上のヤツで証明になっているんじゃ〜ないか。
何故かって、
任意の正数ε>0に対し、ある自然数mがあって、
が成立し、
逆に
が成立するので、任意のε>0に対して、
が成立するからだよ。
ここで、お前らに問題。
確認問題１
A=(−1,1)とし、一般項が
である点列（数列）
すると、この点列の極限値は0、0∈A。
すると、定理よりAは閉集合となるが、A=(−1,1)は開集合となり、矛盾する。
これは、紹介した定理に反する。
どこがいけないのか、説明せよ。
確認問題２
さて、集合Mは閉集合か。閉集合であればその証明をし、閉集合でなければ、反例をあげよ。
集合Lは閉集合か。
この確認問題に答えられないとしたら、そのヒトは、この定理を理解できていないので、この超〜危険な定理は使うべきではない。
発展問題
fを実数全体の集合R上の連続関数とする。このとき、集合
が閉集合であることを示せ。