点列の収束
自然数全体の集合Nから位相空間への写像
をXの点列という。
点列の場合、n∈Nの像a(n)をであらわし、点列自体を、または単にで表す。
xの任意の近傍Uに対して、ある自然数m∈Nが存在して、n≧mならば、であるとき、すなわち、
であるとき、点列はxに収束するといい、xを点列の極限点という。
また、点列がxに収束するとき、
などであらわす。
【注意】
点列がx∈Xに収束するとき、と表すが、数列の極限値とは異なり、点列の極限点は必ずしも一意的に定まるわけではない。
たとえば、密着位相空間のとき、Xの任意の点列はXの任意の点に収束することができる。何故ならば、x∈Xとすると、xの近傍UはX自身しかないのででxの任意の近傍U=Xとなり、n≧1ならば、
が成立するため。
定理１
ハウスドルフ空間においては、点列の極限点は、それが存在すれば、唯一つである。
【証明】
x≠yで、点列の極限点がx、yであるとすると
を満たす。
m=max｛m₁,m₂｝にとると、
となり、ハウスドルフ空間であることに反する。
よって、極限点が存在すれば、唯一つである。
（証明）
距離空間
はハウスドルフ空間なので、定理１から次のことが成り立つ。
定理１の系
距離空間においては、点列の極限点は、それが存在すれば、唯一つである。
密着位相空間の点列の極限点が唯一つに限らないのは、Xの相異なる２点xとyを互いに交わらない開集合UとVでx∈U、y∈Vと分離できないため。
定理２
を位相空間、A⊂Xとする。
（１） A内の点列がxに収束するならば、である。
（２） が第一可算公理を満たすならば、各に対し、A内の点列でxに収束するものが存在する。
【証明】
（１） A内の点列がxに収束するので、任意のxの近傍に対して、ある自然数mが存在し、
を満たす。
すると、
であるから、
よって、である。
（２） とし、xの可算基本近傍系をとし、
とする。
そして、とする。
Uをxの任意の近傍とすると、が基本近傍系であることより、ある自然数mがあって。
すると、n≧mならば、
となる。
つまり、はxに収束するA内の点列である。
（証明終）