第９回 コンパクト空間

第９回　コンパクト空間

 

を位相空間とし、AをXの部分集合とする。

Xの部分集合からなる集合族（Xの冪集合の部分集合）が

　　

を満たすとき、はAを覆うといい、をAの被覆という。特に、の元がすべて開集合であるとき、をAの開被覆という。Aがの部分集合で覆われるとき、すなわち、であるとき、をAの部分被覆という。

Aが任意の開被覆に対して、Uの部分被覆で有限なものが取れるとき、すなわち、Aの任意の開被覆に対して、に属する有限個の開集合を選んで、

　　

となるとき、Aはコンパクト集合といい、Aはコンパクトであるという。

X自身がコンパクトであるとき、をコンパクト空間といい、位相空間はコンパクトであるという。

 

例１　位相空間の有限部分集合は常にコンパクトであり、離散空間がコンパクトであるのは有限集合の時に限る。

例えば、Nを自然数全体の集合とし、Nの離散空間について考える。

　　

とすると、

　　

となるので、はNの開被覆となるが、有限個の開集合を選んで、Nを覆うことはできない。

 

 

例２　有限個のコンパクト集合の和集合はコンパクトである。

【証明】

をコンパクト集合とし、和集合の開被覆をとすると、は各の開被覆であり、コンパクトなので、はに対する有限部分被覆をもち、は和集合Aの有限開被覆となる。

よって、有限個のコンパクト集合の話集合はコンパクトである。

（証明終）

 

を距離空間とする。Xの部分集合Aに対して

　　

を集合Aの直径という。集合Aの直径が有限なとき、集合Aは有界であるという。

 

例３　距離空間上のコンパクト集合は有界である。

【証明】

を距離空間とし、AをXのコンパクト集合とする。

Aの１点xをとり、

　　

とおくと、これはAの開被覆である。

また、Aはコンパクトなので、

　　

となる自然数nが存在する。

したがって、Aは有界である。

（証明終）

 

 

定理１　ハイネ・ボレルの定理

Rの任意の有界閉区間[a,b]はコンパクトである。

【証明】

を閉区間[a,b]の開被覆とし、が部分被覆を持たないと仮定する。

このとき、

　　

の少なくとも一方はの有限個の開集合で被覆できない。その閉区間を[a₁,b₁]とする。同様に、

　　

の少なくとも一方はの有限個の開集合で被覆できない。その閉区間を[a₂,b₂]とする。以下同様に、の有限個の開集合で被覆できない閉区間を２等分して、閉区間を選ぶことができる。

このような操作を繰り返すことによって、閉区間の列

　　

を定めることができる。

　　

よって、カントールの区間縮小の原理によって、すべての開区間に属する実数cがただひとつ定まる。

さて、は閉区間[a,b]の開被覆だから、に属するOでcを含むものがある。このとき、正の実数εで、

　　

となる。であるから、十分大きな自然数nに対して

　　

よって、この閉区間がのただひとつの開集合で被覆されることになり、閉区間の作り方に矛盾する。

したがって、閉区間[a,b]の任意の開被覆は有限な開被覆をもつことになり、閉区間[a,b]はコンパクト。

（証明終）

 

 

定理２　コンパクト空間の閉集合はコンパクトである。

【証明】

を位相空間とし、Aを閉集合とする。をAの開被覆とし、とおけば、これはXの開被覆。

Xはコンパクトなので、に属する有限個の開集合とによって

　　

とXを覆うことができる。

このとき、

　　

よって、コンパクト空間の閉集合はコンパクトである。

（証明終）

 

 

定理３　fを位相空間からへの連続写像とする。Aをのコンパクト集合とすると、その像f(A)はコンパクト集合である。

【証明】

をf(A)の開被覆とすれば、

　　

はAの開被覆となる。

Aはコンパクトなので、の有限個の開集合によって

　　

とすることができる。

ゆえに、

　　

よって、f(A)はコンパクトである。

（証明終）