0.999・・・は１と等しいのか、等しくないのか
9が無限に続く小数0.999・・・は１と等しいのか等しくないのか、というお話です。
文系の多くのヒトと理系のごく一部のヒトは
と答えると思うにゃ。
こう答えるごく一部の理系のヒトの中には、二つのタイプが存在すると思うが、ブラゲロ・マムシが息を吹き返す恐れがあるので、この話はしない。寝た子を起こすような危ない真似はしたくないにゃ。
ところで、x=0.999・・・とおくと、
だにゃ。
そこで、②と①の両辺との差を取ると、
ということで、0.999・・・と１は等しいんだケロよ。
この手品のような証明にケチをつけるヒトの口封じのために、次の証明（？）を挙げておこう。
①の両辺を３倍すると、
どうだにゃ、これで文句はないだろう！！
ところで、あなたは、0.333・・・や0.999・・・と延々と数が続くものを、数だと思っていませんか。
厳密なことをいうと、
という永遠に終わることのない足し算ーー永遠に終わることのない足し算なので、（永遠に）足すことによってこの値（そんな値があればだが・・・）を求めることはできない(^^ゞーー、つまり、無限級数を表したものであって、実は、これは数そのものじゃ〜ないんだケロ。
そして、数学の公式から、
となるので、
ってわけですわね〜。
ところで、0.999・・・と延々と終わることなく9が続く無限小数を小数点n位までとった数（？）を
すなわち、
だにゃ。
1とこの
になる。n=1ならばこの差は1/10、n=2ならばこの差は1/10²=1/100、n=3ならばこの差は1/10³=1/1000、・・・とnをドンドン大きしてゆけば、限りなく0に近づいてゆく。
このことを、
と記号であらわすことにするにゃ。
そして、このとき、
とあらわし、
つまり、
という無限級数は１に収束し、その極限値は1なので、このお約束にしたがって
と表しているんだにゃ。
あるいは、0.999・・・（で表される無限級数）の極限値は１で、この0.999・・・（で表される無限級数の極限値）は１に等しいの意味、なんだケロよ。
てなわけで、0.333・・・や0.999・・・をナマの数だと思っちゃ〜いけないんだケロ。そして、多くの混乱は、0.333・・・や0.999・・・をナマの数だと思っていることに起因していると思う。
さてさて、ネムネコが高校１年のときの数学の教師の一人が「0.999・・・と１は等しくない」と抜かしやがった。そして、この瞬間、ネムネコのこの数学教師に対する評価は下ったのであった。
ところで、
と延々に続く循環小数を、分子が整数、分母が整数の分数に直すことはできるケロか。
いくつかその方法はあるんだけれど、もっとも簡単な方法は
とおき、①の両辺を１００倍するにゃ。
すると、
②と①の差を取ると、いい塩梅に小数点以下がすべて０になってくれるにゃ。
つまり、
ネムネコは、4÷33なんて難しい割り算をできないので、電卓でこの計算したところ、どうやら4/33=0.121212・・・となるようだにゃ。
この計算法は極限の公式に則ったもので、やましいところは全くないので、積極的に使うべきだにゃ。中学生数学レベルで解けるのだから、わざわざ難しく解く必要はない！！
一つ言い忘れたけれど、
の右辺のように簡略化して書くにゃ。
なお、
と書くのは間違いなので、気をつけること。繰り返す数字の初めと最後の上に・という記号をつけるんだケロ。
これで、⑨³の解説は終わりだにゃ。