水の問題３ （微分編）
問題１ 上面の半径が５ｃｍ、深さが１５ｃｍの円錐形の容器がある。これに毎秒８ccの割合で静かに水を注ぐとき、注ぎ始めてから３秒後の水面の広がる速さを求めよ。
【解】
ｔ秒後の深さをycm、水面の半径をxcmとすると、その時の水の体積Vcm³は
また、x:y=5:15なので、
よって、
一方、ｔ秒後の水の量は
よって、
ｔ秒後の水面の面積をSとすると、
よって、t=3秒後の水面の広がる速さは
（解答終）
類題 曲線y=x²のy軸を軸としてできる回転面を内壁とする容器を作り、回転の軸を鉛直に保ちながら、毎秒ｖcm³ずつ水を注水する。水を入れ始めてからt秒後の
（１） 水の深さｈ （２） 水面の面積S （３） 水深の増加率 （４）水面の面積の増加率
を求めよ。
【解】
（１） t秒後の水の体積をVとすると、
（解答終）
問題２ 底に小さな穴があいている容器がある。その容器にx（cm³）だけ水があるとき、水の深さが
また、水の深さがh（ｃｍ）であるとき、穴から毎秒
（１） 深さがh（ｃｍ）であるときの水面の面積をｈで表わせ。
（２） 水を静かに毎秒a（ｃｍ³）だけ注ぎ入れるとすれば、深さがｈ（ｃｍ）であるときの水面の上昇する速さは毎秒いくらか。aとｈで表わせ。
【解】
（１） 深さhのときの面積をS(h)とすると、
問題の条件より
よって、
（２） 時刻tにおける水の増加量dx/dtは、問題の条件より
一方、
よって、
（解答終）
類題 水を入れると、水の深さxcm（ｘ≧０）のとき、水面の面積がx(20−x)cm²になるような容器がある。また、この容器に水を満たしたときの水の深さは１５ｃｍである。
このとき、次の問に答えよ。
（１） いま、この容器が、からのとき毎秒９ｃｍ³の割合で水を入れるとき９秒後水の深さは３ｃｍになることを示せ。
（２） （１）の場合、水の深さが３ｃｍになった瞬間における水面の上昇する速さを求めよ。
【解】
（１） 深さxcmのときの水の容積をVｃｍ³とすると、
毎秒９ｃｍ³の割合でこの容器に注水するので、９秒後の水の深さをｘｃｍとすると、
よって、x=３ｃｍである。
（２） ｔ秒後の水の深さをxcmとすると、
両辺をｔで微分すると、
これにx=3を代入すると、
（解答終）
（２）は、
としてもよいのでしょう。