考えるネムネコ（高校の微分編）
この連休中、実家に帰っていて、ネムネコが高校時代に使っていた数学の参考書を覗いていたら、次のような解答があった。
問題 x+y=a（a>0）のとき、√x+√yの最小値を求めよ。
【解答】
x+y=aよりy=a−x。
とおき、微分すると
で、
よって、x=0、y=aまたはx=a、y=0のときに最小で最小値は√a
（解答終）
といったようにこの問題を解くのだそうだ。分子の有理化をして解くあたり見事で、ここでの有理化は気づきにくいのではないか。
なお、問題にはないけれど、x=y=a/2のとき最大で最大値は
上のグラフを見れば、x=a/2に関してf(x)が対称であることもわかるだろう。
（対称であることを示せ！！）
この解答にケチをつけるつもりはないけれど、
u=√x、v=√yとおくと、
となり、u+v（u≧0、v≧0）の最小値を求める問題になる。
だから、この問題は、原点を中心とする半径√aの円u²+v²=aとu+v=kという直線のお絵かきすることで簡単に解けてしまう。
何でもかんでも微分すりゃ〜いいというもんでもないだろうに・・・。
なお、最大値は、シュワルツの不等式を使うと、
と求めることも可能。
もちろん、最大値は、原点と直線x+y=kの距離を用いて
と求めてもいいだろう。
円と直線が接する時に最大になるので、みんなが大好き判別式を使って解くこともできるだろう。
ということで、お前ら、次の問題を解くにゃ。
問題 √x+√y=1のとき、x+yの最小値を求めよ。 （答 1/2）
なお、この問題は大学入試の問題です。
解いた奴は、「オレはこんなふうに解いた」と、コメント欄にその解答を書いて送るにゃ。
もちろん、
これをx+yに代入し、
とし、微分を使って解いてもいいにゃ。
こう解く場合、微分を使わずに、
と行きたいところだが・・・。
中には、
とおき、ラグランジュの未定乗数法を使って解く物好き、猛者もいるかもしれない(^^)