ウォリスの公式
問題 次のことを示し、この積分の値を求めよ。
【解】
n=0のときは、右辺、左辺の積分の値は
となり、等式が成立する。
nが正の整数の場合。
x=π/2−tとおくと、x=0、π/2にはそれぞれt=π/2、0が対応し、dx=−dtである。
したがって、
ゆえに、
n=1のとき、
n≧2のとき、
よって、
nが偶数のとき
nが奇数のとき
ゆえに、
nが偶数のとき、
nが奇数のとき
（解答終）
上の結果から、次の公式を得ることができる。
nを正の整数とするとき
この公式（Wallis積分）を用いると、次のWallisの公式を得ることができる。
Wallis（ウォリス）の公式
【証明】
nを正の整数とするとき、0<x<π/2において、
が成り立つ。
したがって、
辺々を
ここで、漸化式
を用いると、
になる。
だから、ハサミ打ちの定理より
となる。
（１）、（２）より、
n→∞の極限をとって、
（解答終）
（３）より、