このブログの共同執筆者のひとりであるddt³さんから、ddt³さん提出の次の問題（７月１８日）の回答をいただいたので、これを紹介することにする。
位相をかじってると次のようになります。ただし我慢して定義の連続を読む必要はありますが(^^;)、頭の体操です。
［分離空間の定義］
Ｘを位相空間とする（位相空間の定義を読む）。
x，y∈Ｘかつx≠yについて、共通分が空となるxの近傍とyの近傍がある（位相空間の近傍の定義を読む）。
Ｘを集合，x∈Ｘとして、(x，x)の形の点全体の集合を、積集合Ｘ×Ｘの対角集合Δと言います。
［定理-1］
Ｘが分離位相 ⇔ Ｘ×ＸでΔは閉。
［証明］
省略。でも定義だけから示せます。
必要な定義：
分離空間の定義。位相空間の開集合，閉集合，近傍の定義。
［証明終］
［定理-2］
Ｘを位相空間，Ｙを分離空間、f，g：Ｘ→Ｙかつ連続とする。f(x)＝g(x)となるxの全体Ｄは、Ｘで閉。
［証明］
h：Ｘ→Ｙ×Ｙで、x→(f(x)，g(x))の形のものを考える。
f，g：Ｘ→Ｙは連続だから、hも連続（積写像と連続写像の定義とそれから導かれる性質）。
Ｄは、Ｙ×Ｙの対角集合Δのhによる逆像に一致する。Δは［定理-1］より閉集合なので、連続関数の性質からＤは閉。
※もちろんＥ＝{(p，q)｜f(x)＝g(x)となる(p，q)＝(f(x)，g(x))}は、一般にΔと一致しません。しかしhの定義から、
h(Ｄ)＝Ｅ∩Δ⊂Δ
になるので、特にＤの定義から、
Ｄ＝h^(-1)(Ｅ∩Δ)＝h^(-1)(Δ)
です。本当は証明すべきですが。
［証明終］
［系-1（等式延長の原理）］
f，g：Ｘ→Ｙかつ連続、Ｘを位相空間，Ｙを分離空間とする。
Ａ⊂ＸがＸで密とすれば、Ａ上でf＝gならＸでf＝g。
［証明］
1) Ｄを［定理-2］の集合とすれば、Ａ⊂Ｄ（逆像の定義と性質）。またＤは閉集合。
密空間（稠密空間）の定義から、Ａの閉包をＡ’として、
2) 1)からＡ’⊂Ｄ。Ｄが閉である事と閉集合の定義。
3) Ａ’＝Ｘ。密空間の定義。
2)，3)より、Ｄ⊂Ｘ＝Ａ’⊂Ｄなので、Ｄ＝Ｘ。
［証明終］
ネムネコの補足
位相の定義を上げると、たとえば、次のようになる。
空でない集合Xに対し、Xの部分集合の集合O（Xのべき集合の部分集合）が
をみたすとき、OをX上の位相、XとOの組〈X, O〉を位相空間という。
さらに、位相空間〈X, O〉の開集合、閉集合、近傍などの用語説明。
位相空間〈X, O〉に対して、
１ Oの元（要素）を開集合という
２ Xの部分集合Aは、その補集合
３ x∈XとXの部分集合Vに対して、x∈U⊂Vとなる開集合Uが存在するとき、Vはxの近傍であるという。
この定義から、Xの補集合
Xと∅以外に、開集合かつ閉集合である集合が存在しないとき、位相空間〈X, O〉は連結であるという。
そして、分離空間とは、Xの相異なる２点がつねに交わらない２つの開集合によって分離できるハウスドルフ空間のこと。
さらに、分離の定義。
〈X, O〉を位相とする。
Xの相異なる２点a、bが、互いに交わらないXの開集合A、Bで、a∈A、b∈Bとなるものが存在するとき、開集合によって分離されるという。
実数全体の集合Rと、その部分集合である開区間I（条件a<x<bを満たす集合）は、この上の性質を全て有している。
こんなことは知らなくていいことですが、
位相にはT₀、T₁、T₂、T₃、T₄の５種類ほどの分離のタイプがあって、この分離は３番目のもので、これを満たすものをT₂空間と呼ぶことがある。
そして、普通、位相で分離といったら、３番目のものをいう。
というこどで、ハウスドルフ空間といったら、実数全体の集合R、数直線をイメージすれば、大体、間違いがない。
たとえば、a<bのとき、
とすれば、
A⊂R、B⊂R、A∩B=∅、a∈A、b∈B
という条件を満たすので、aとbは交わらない２つの開集合A、B（開区間）で分離できる。
そして、このことから、〈R, O〉はハウスドルフ空間であることを示すことができる。
だって、x≠yのとき、xとyの小さい方をa、大きい方をbをおけばいいのだから。
１ すべてのYの開集合Gに対し、Gのfの逆写像の像
２ Xの元xに対して、f(x)のYにおける近傍Vのfによる逆像
で、Xのすべての点xでfで連続であることと、
そして、次の定理（？）。
定理（？）
〈R, O〉を実数直線とする。関数f:R→Rが連続であることと、
を満たすことは同値である。