tickさんから、質問をいただいたので、答えたいと思います。


 


複素数を用いて極座標における速度、加速度を求める


 


http://nekodamashi-math.blog.so-net.ne.jp/2017-02-18-1


 


　　


を微分すると、積の微分公式から


　　


となりますよね。


　　


だから、右辺第１項は


　　


です。


一方、合成関数の微分公式から、u=iθとおくと、


　　


となりますので、（２）の第２項は


　　


となって、以上のことから、（２）は


　　


になります。


 


オイラーの公式より


　　


ですから、


　　


この内積をとると、


　　


よって両者は直交します。


また、


　　


ですよね。


したがって、は半径r方向の単位ベクトルで、は円周θ方向の単位ベクトルになります。


よって、（３）式から、半径方向の速度を、円周方向の速度をとすると、


　　


になります。


 


また、


純粋な数学の問題と考えれば、


チェーンルール（連鎖公式）から


　　


となりますので、


　　


よって、


　　


 と、（３）を導くこともできます。