一様収束の復習


 


区間Iで定義された関数からなる関数列がx∈Iの各点で関数f(x)に収束するとき、すなわち、


　　


であるとき、関数列はI上でf(x)に各点収束するという。


 


例１


　　


この関数列は、


　　


に収束する。


そこで、


　　


と定義すれば、


　　


となる。


 


ところで、は0<x<1で0に収束するので、任意のε>0に対して


　　


したがって、任意のε>0に対して、正の整数を選ぶと、x∈[0,1]で


　　


となる。


ここで［x］はガウス記号で、xを越さない最大の整数である。


 


一般に、区間Iで定義された関数列がf(x)に収束するとき、例１のように、（１）式の正の整数Nはεだけでは定まらず、点xで異なる。しかし、点xに無関係にNがεだけで定まるとき、つまり、であるとき、はf(x)に一様収束するという。すなわち、


任意のε>0に対し、N(ε)を十分に大きく選べば、∀n>N(ε)と∀x∈Iに対し


　　


であるとき、関数列は関数f(x)に一様収束するという。


 


例２


　　


は0に一様収束する。


　　


よって、任意のε>0に対して、にとれば、∀n>Nと∀x>1に対して


　　


となり、0に一様収束する。


一様収束する関数列に関しては、次の定理が成立する。


 


定理


を[a,b]で連続な関数列とする。[a,b]上でがf(x)に一様収束するならば、


　　


 


例３　a>1とすると、


　　


は、[1,a]上では0に一様収束する。


したがって、定理より


　　


実際、左辺を計算してみると、


　　


 


問題　


　　


のとき、次の問に答えよ。


（１）　が一様収束することを示せ。


（２） の値を求めよ。


【解】


（１）を微分すると、


　　


したがって、x=1/nのときに極大、かつ、最大になり、


　　


したがって、任意のx≧0に対して


　　


また、


　　


だから、ハサミ打ちの定理より


　　


である。


ε>0、さらに、とすると、


　　


したがって、任意のεに対して、にとると、∀n>Nに対して


　　


となるので、は0に一様収束する。


 


（２）　定理より、


　　


（解答終）


 


ところで、例１の


　　


は、0に各点収束するけれど、一様収束ではない。


しかし、


　　


また、の極限関数


　　


の定積分


　　


となり、


　　


が成り立つ。


 


つまり、が[a,b]で連続な関数で、関数列が一様収束しなくても、


　　


が成り立つ場合がある。