複素関数の微分の補充問題2
が成立する。
したがって、u、vともにラプラス方程式
を満たすので、u、vは調和関数である。
問 正則関数
【略解】
コーシー・リーマンの関係より
したがって、
(略解終)
問題1 u=x³−3xy²が調和関数であることを示し、uを実部にもつ正則関数を求めよ。
【解答】
よって、uは調和関数。
を満たさなければならない。
したがって、
これを
よって、
(解答終)
問題2 f(z)が正則であるとき、
となることを示せ。
【解】
だから、
したがって、
同様に、
ここで、コーシー・リーマンの関係式を用いると、
(解答終)
(2)式を
同様に、(3)式から
問題3
であることを示せ。
【解】
(1) コーシー・リーマンの関係より
したがって、
また、
よって、
(2)
また、
したがって、
(解答終)