第５９回 空間曲線
空間の点Pの描く空間曲線は
で与えられるが、これは原点Oを始点とする点Pの位置ベクトル
と与えられることと同等である。
そして、接線ベクトルは
で与えられる。
さらに、この曲線Cが滑らかなとき、位置ベクトルr(a)からr(t)までの弧の長さs(t)は
となり、
よって、
とすれば、
このdsを線元素という。
sはtの関数であるが、逆にtもsの関数と考えられるので、曲線は、曲線の長さを用いて
r=r(s)
とあらわすことができる。
このとき、
は曲線に接しsの増加する方向に向かうベクトルである。
何故ならば、
で、ベクトルtは接線ベクトルdr/dtと平行だから。
また、sとs+Δsに対応する曲線上の点をP、Qとし、
だから、tは単位接線ベクトルである。
Qにおける接線ベクトルとPにおける接線ベクトルのなす角度をΔθとすれば、
は、曲線の長さに対する接線の向きの変化率をあらわし、
を点Pにおける曲率という。この定義から明らかなように曲率は正または０であり、曲線上の各点でκ=0である時は直線である。
単位接線ベクトルt同士の内積t・t=1を微分すると、
となり、
また、
このnをPにおける（単位）主法線ベクトルといい、
となる。
また、曲率は
曲率の逆数
を曲率半径といい、曲線上のPから引かれたベクトルρnの終点を曲率半径の中心という。
また、曲線上の点Pにおける接線ベクトルと主法線ベクトルの外積
b=t×n
を、点Pにおける曲線の（単位）従法線ベクトルという。
したがって、
t、n、bは互いに直交する単位ベクトルで、右手系をなす。
また、
が成立し、τを捩率（れいりつ）という。
問題１ 次の螺旋曲線の（単位）接線ベクトル、主法線ベクトル、従法線ベクトル、さらに曲率κと捩率τを求めよ。
【解】
したがって、
よって、
単位接線ベクトルtは
また、
ゆえに、曲率κは
よって、主法線ベクトルnは
従法線ベクトルbは
これから、
よって、捩率τは
（解答終）