第５８回 ベクトル関数の微分
実数全体の集合の部分集合Dで定義されているベクトル関数A(t)がt₀∈Dにおいて極限
を有するとき、A(t)はt=t₀で微分可能であるといい、A'(t₀)をt=t₀におけるA(t)の微分係数という。
Δt=t−t₀≠0とおくと、t→t₀のときΔt→0だから、（１）式は次のように書き換えることができる。
また、Dに属する任意の点でA(t)が微分可能であるとき、A(t)はDで微分可能であるという。
ベクトル関数A(t)がDの任意の点tで微分可能であるとき、
をA(t)の導関数といい、記号
などで表す。
また、
であるとき、
定理 A(t)が点t=t₀で微分可能ならば、A(t)は点t=t₀で連続である。
【略証】
（略証終）
問１ 次のことを示せ。
【略証】
（略証終）
問２ 実関数f(t)とベクトル関数A(t)はDで微分可能であるとするとき、次のことが成り立つことを示せ。
【解】
（解答終）
A(t)は微分可能だから連続で、
であることに注意。
問３ 問１、問２を用いて、
のとき、
となることを示せ。
【解】
（解答終）
基本ベクトル
であることを使っていることに留意。
ベクトル関数の内積（スカラー積）、外積（ベクトル積）に関しては、次の関係が成り立つ。
定理
【証明】
（１）
（２）
だから、
（証明終）
問４ 次のことを示せ。
【解】
（１）
（２） ｜A｜＝定数だから
よって、
したがって、
（３）
（解答終）
rを質点の位置ベクトル、mを質量とすると、問４の（３）より
ここで、
とおくと、
Lは角運動量であり、r×Fはモーメントだから、「角運動量の単位時間の変化はモーメントに等しい」という物理の角運動量保存の法則を得ることができる。
問５ rをtのベクトル関数、r=｜r｜とするとき、次の関数を微分せよ。
（答）
ここで、
問６ a、bを一定のベクトル、ωを定数とするとき、次のことを示せ。
【略解】
また、
（略解終）