第５７回 ベクトル関数の極限と連続
実数全体の集合Rの空でない部分集合の任意の点tに対して、ベクトルAが一意に対応付けられているとき、これをベクトル関数と呼び、A(t)で表す。
直交座標を用いると、A(t)はDからRへの３つの実数関数x(t)、y(t)、z(t)によって次のように表すことができる。
ここで、i、j、kはそれぞれx軸、y軸、z軸の正の方向の単位ベクトル、すなわち、
である。
また、tの値によってベクトルの大きさ、方向が変わらないベクトルを定ベクトルという。
ベクトル関数の極限
tがt₀に限りなく近づくとき、A(t)がCに限りなく近づくならば、Cをt=t₀におけるA(t)の極限値といい、
で表す。
より正確にε−δ論法を用いると、
任意の正数ε>0に対して、ある正数δ>0が存在し、任意のt∈Dに対して
であるとき、このことを
であらわし、t=t₀においてA(t)はCに収束するという。また、このとき、Cをt=t₀におけるA(t)の極限値という。
問１
すなわち、
【略証】
だから
したがって、
ならば、ハサミ打ちの定理より
逆に、
なので、ハサミ打ちの定理より
（略証終）
問２ α、βを定数とするとき、次のことが成り立つことを示せ。
【略証】
α=β=0のとき、
同時にα=0、β=0でないとき、
任意の正数ε>0に対して
とおくと、あるδ>0があって、
とすることができる。
したがって、このとき、
（証明終）
問３ f(t)を実数全体の集合RからRへの関数とするとき、次のことを示せ。
【略証】
問１より
（解答終）
ベクトル関数の連続
すなわち、
任意の正数ε>0に対して、ある正数δ>0が存在し、全てのt∈Dに関して
であるとき、A(t)はt=t₀で連続であるという。
また、Dに属する任意の点でA(t)が連続であるとき、A(t)はDで連続であるという。
ベクトル値関数A(t)が
であるとき、A(t)がt=t₀で連続であることと、実関数x(t)、y(t)、z(t)がt=t₀で連続であることは同値である。
問４ 上のことぉ証明せよ。