第52回 関数列とその収束
任意の点x∈[0,1]から一つ選び、その値を固定すると
そこで、
とすると、
と表すことができる。
定義 (各点収束)
関数列
であるとき、関数f(x)を関数列
イプシロン・デルタ論法で表わせば、
任意の正数ε>0任意のx∈Iとに対して、ある自然数N(x,ε)が存在して、n≧N(x,ε)を満たす任意の自然数nに関して、
が成り立つとき、関数f(x)を関数列の極限関数といい、関数列はIで関数f(x)に各点収束するという。
論理記号を用いるならば、
なお、ここで、N(x,ε)は、xとεの関数の意味ではなく、xとεに依存する程度の意味であることに注意。
例えば、
で定まる関数列
x=0、x=1の場合、任意のε>0に対して、任意の自然数nで、
一方、0<x<1の場合、
中辺と右辺の対数を取ると、
よって、
を満たす自然数Nを選び、それをN(x,ε)にする必要がある。
したがって、0<x<1のとき、
任意のε>0に対し、
とすれば、
問1 次の関数列
【解】
よって、
x=±1のとき、
x<−1、x>1のとき、1<x²だから
したがって、各点収束し。極限関数は
したがって、
また、
よって、
よって、関数列
である。
0<x≦1のとき、
が成立するので、
したがって、極限関数f(x)は
(解答終)
問の(1)、(2)の関数列
しかし、問の(1)の関数列
これに対し、(2)の関数列
問2
は成立するか。
【解】
だから、
よって、
(解答終)
問3
は成立するか。
【解】
よって、
(解答終)