お前らに質問（１２月１２日 関数の微分可能性）の解答例
問題 f(x)=x³を実数全体の集合Rで定義される関数とするとき、任意のa∈Rに対して
となることを、ε−δ論法を用いて証明せよ。
【解答】
0<δ≦1とし、
よって、任意のε>0に対して、
に取ると、
（解答終）
なお、上の解答で
となっているのは、0<δ≦1⇒δ²≦δだから。
また、単に、
任意の正数ε>0に対しδを
とすると、ε>1+3｜a｜のとき、
となってしまうので、0<δ≦1という仮定を満たすために
というお呪（まじな）いを唱える必要がある。
ここで、
そして、
は、こっそり、
とおき、これを解いたところから出てくる。
「aとbの大きくない方をとる」を意味する、min｛a,b｝という怪しげな記号なんか使いたくないというヒトは、次のように解くといいかもしれない。
0<｜x−a｜<δとすると、
とおき、
このδの２次方程式を解く。
δ>0という条件があるので、
をとる。
よって、
任意のε>0に対して、
にすると、
この場合は、幸い、δ²+3｜a｜δ−ε=0という２次方程式になるのでδについて解くことができるけれど、δの３次以上の方程式になると厄介なので、応用しづらいという難点がある。
発展問題
となることを、ε−δ論法を用いて示せ。
この発展問題の回答が１つもお前らからネムネコのところに届いていないので、この制裁措置――正しくは、ブログ運用の適正化措置(^^)――として、この解答例の公開は保留だケロよ。
正しかろうが間違っていようが、お前らから１つ回答が寄せられたら、解答例の公開を検討するにゃ。
正しかろうが間違っていようが、お前らから１つ回答が寄せられたら、解答例の公開を検討するにゃ。