お前らに質問（３月１６日） [お前らに質問]
お前らに質問（３月１６日）
たとえば、
という連立常微分方程式（ロトカ・ヴォルテラの方程式という）がある。ここで、a、b、c、dは正の定数だケロ。
そして、ｔとx,yに関する次のデータがある。
この表のデータをもとに、（１）式に出てくる実定数a、b、c、dのおおよその値を求めたいんだけれど、ネムネコは、このデータからどうやってa、b、c、dの推測したらいいのか、この方法をまったく思いつかずに困っている。
そこで、お前らに質問だにゃ。
【質問】
上の表のデータから、どうやって、（１）の連立常微分方程式に登場する定数a、b、c、dの値を推測したらいいでしょうか。
その方法とその方法で推測したa、b、c、dの値をネムネコに教えよ！！
「ｔとx、yに関するデータが７組あるので、この関係をtの６次の多項式で近似して…」とか考えたんだけれど、６次だと近似曲線がウネリすぎて、これは使い物にならない。
ラグランジュ補間などの高次の多項式で実験データを近似すると、このようなウネウネ現象が発生するだケロ。
このことは６次式で近似する前にわかっていたことだけれど、話のネタとして提示したまでだにゃ。
ここ↓を見ると、
http://www.aoni.waseda.jp/yuuka/Sim/Lotka.html
a=1、b=0.2、c=1、d=0.031
と出ていて、この値をもとにシミュレーションしてるけど、このシミュレーションの結果は、どう贔屓目に見ても、データと一致していないにゃ。
引用：http://www.aoni.waseda.jp/yuuka/Sim/Lotka.html
この記事を書いたのは、どうも、早稲田の先生みたいなんだけれど、この先生は、いったい、どうやって、a、b、c、dの推測値を求めたんだろう。
わからないにゃ。困ったケロよ。
この先生の記事には出ていないけれど、参考までに、横軸にウサギ、縦軸にヤマネコの頭数ををとり、位相図（(・・?）を書くと次のようになるにゃ。
反時計回りに、閉曲線上を永遠に回り続けるんだケロよ。
こういう実験データの処理は、何かとその経験を有するddt³さんが得意そうだから、教えてくれないかな(^^ゞ。
できたら、魚と鮫の場合のa、b、c、ｄの値も(^^)。
どうでもいい与太話だけれど、何でも、この微分方程式は鮫と深い関係があるらしいんだケロ。
戦争が起きると、何故か、鮫が増え、鮫に食べられる他の魚が減る。このことに疑問をもった生物学者のダンコナさんが数学者であるヴォルテラに問い合わせ、ロトカ・ヴォルテラ方程式が生み出されたという話。
と少し脱線したところで、話をもとに戻そう。
普通、この手の問題は、（１）式の係数a、b、c、dの値とx(t)、y(t)の初期値が与えられていて、あるいは、自分で勝手にいくつか値を設定して、この微分方程式を（数値的に）解けという問題だけれど、これはデータから係数を求めよという一種の逆問題。
逆問題は難しいんだケロよ。
しかも、シミュレーション結果を見ると、どのような値を設定しても、データをうまく再現出来ないことはわかりきっているし、ネムネコは、この時点で、もう戦意を喪失してしまう。
こんなもの、どう頑張ったって、データと合われることなんてできないニャ。
ホント、困ったもんだケロよ。
面白そうなので少しチャレンジ。
微分方程式を差分化して解き、t=0,1,2,3,4,5,6でCHISQを求め、
solverでパラメータを推定すると、
a=1.48,b=0.27,c=0.17,d=0.005
で、
x=60,82,84,59,32,17,12
y=4,5,6,7,8,7,7
ですね、差分ではなくルンゲクッタ等を使えばもう少し
精度があがるかもですが、なにせExcelでざっと求めましたので
このくらいです。
ご参考まで
by jj (2021-06-26 10:42)