問題２　a、bを任意の実数とするとき、等式


　　


はf(x)が３次以下の多項式であれば成り立つが、４次以上の多項式であると成り立たない（a≠b）。


f(x)=x⁴のとき、(A)の右辺の値を左辺の積分の近似値とみれば、その誤差は(b−a)⁵に比例することを示せ。


【略解】


　　


よって、誤差は(b−a)⁵に比例する。


（略解終）


 


（A）で定積分を近似した場合、


その誤差は(b−a)⁵に比例する


という結論は（数値計算の）理論上重要な事実。
この簡単な計算から、シンプソンの公式の（局所的な）誤差が(b−a)⁵に比例するということがわかるんだよね。


 


昨日の数学の記事で、


「a、bを任意の実数とするとき、等式


　　


はf(x)が３次以下の多項式であれば成り立つ」


と書いた。


 


そして、公式（A）の右辺はf(x)をの３点を用いて２次関数で近似することによって得られるという話をした。


だとすれば、（A）式で正確に計算できるのはf(x)が２次以下の多項式（関数）の場合であるはずだ。


しかし、


f(x)=x³、さらに、a=0、b=1とし、（A）式の右辺を用いて、を近似的に（？）計算すると、


　　


となり、の正しい値を与える。


 


考えれみれば、妙な話だ。


 


というわけで、お前らに次の命題を証明してもらおうじゃないか。


 


命題


a、bを任意の実数とするとき、等式


　　


はf(x)が３次以下の多項式であれば成り立つ


 


もちろん、


　　


とし、


　　


と、


　　


を計算し、この両者の値が等しくなることで、証明してもらって結構だにゃ。


 


 


 


さらに、


　　


【Β（べーた）関数を用いた証明】


　　


と置き、置換積分をすると、


　　


だから、


　　


である。


　　　


したがって、


　　


（証明終）


 


もちろん


　　


だから、