ニュートンの冷却の法則と雨粒の落下速度
ニュートンの冷却の法則
物体の冷える速度は、物体の温度と周囲の温度の温度差に比例する。
時刻tにおける物体の温度をT、周囲の温度を
この微分方程式（１）は、変数分離法を用いて、次のように解くことができる。
時刻t=0における物体の温度をT₀とすると、
よって、
したがって、
つまり、十分に時間が経過すると、物体の温度は周囲の温度と等しくなる。
微分方程式の（特殊）解は、（２）ではなく、次のように表したほうが物理的に、より、一般的なのだろう。
さてさて、いま、変数分離法を用いて微分方程式（１）を解いたが、周囲の温度
そこで、
よって、この微分方程式の一般解は次のようになる。
となり、初期条件t=0のときT=T₀を代入すると、（２）または（３）を得る。
なお、変数分離法を用いない微分方程式（４）の解法は次のようになる。
（４）から
両辺に
もちろん、
と変形し、この両辺に
さらに、これを積分し、
と解くこともできる。
数学的には、
次に、地上数千メートルの高さから雨粒が落ちてくる運動について考える。
雨粒の質量と落下速さそれぞれmとvとし、重力加速度をgとし、落下する雨粒を減速させる抵抗力が速さvに比例すると仮定すると、雨粒の運動方程式は次のようになる。
両辺をmで割ると、
mg/kが一定であると仮定すると、
高さ数千メートルのところから落ち始める雨粒の速さvは0だろうから、落ち始めの時刻をt=0とすると、
したがって、
この上限の速さmg//kを、（雨粒の）終端速度という。
もし、空気抵抗がないすると、高さH=２０００ｍから初速０で雨粒が落ちてくる雨粒の地表面での速さは
という猛烈な速度になる。
これくらいの速度になると、水、雨粒は固体と同じだから、雨粒はショットガンの散弾以上の破壊力を持つことになり、地上にはいかなる生き物も存在し得ないことになる！！
なお、終端速度は（６）でdv/dt=0とおいた
から求めることができる。
あるいは、（６）式でt→∞の極限をとって求めることができる。
雨粒ではなく油滴ですが、物理学者ミリカンは、油滴の終端速度を利用し電子の電荷（電気量）を求め、のちにノーベル物理学賞を受賞しているにゃ。
この実験を、ミリカンの油滴実験という。
ミリカンの油滴実験