お前らに質問（６月２７日 微分）
f(x)はx=0で微分可能か？
結論から言えば、x=0で微分可能で、f'(0)=0。
微分可能であることは、右のグラフを見てもらえればよくわかるだろう。
だから、
である。
では、微分の定義に則して、f(x)がx=0で微分可能であることを示してもらいましょうか。
まぁ、要するに、
を求めてもらいましょうか、という問題だにゃ。
この極限は0/0の不定形だから、ロピタルの定理より
などとやったら、ぬっ殺す！！ので、この点はくれぐれも留意すること。
言いつけを背いた奴は、こうだからにゃ。
さらに余力のある奴は、次のことを証明するにゃ。
追加問題
f(x)は偶関数で、x=0で微分可能である。このとき、f'(0)=0であることを示せ。
問題の関数
は、x≠0のとき、
となっていので偶関数、かつ、x=0で微分可能だから、x=0における微分係数f'(0)=0になっているにゃ。
言っておきますが、
偶関数だからf(x)=f(−x)である。両辺を微分すると、
両辺にx=0を代入すると、
は、追加問題の解答にならないにゃ。
なぜ、これがダメなのか、わかるかい？
ところで、
f(x)が微分可能な関数ならば、⑨から
という関係が得られるので、f(x)が偶関数ならば、その導関数f'(x)は奇関数になる。
また、f(x)が奇関数のとき、
だから、この両辺を微分すると、
となり、その導関数f'(x)は偶関数になる。