お前らに質問（６月２５日）
問題 f(x)は点aで微分可能とする。このとき、次の極限を求めよ。
【解答】
（解答終）
というわけで、hが十分小さいとき、
とf'(a)を近似してみよう。
f(x)=xのとき、（１）〜（４）のいずれの式を使っても、f'(a)=aになる。
では、f(x)=x²の場合はどうかというと、
になる。
したがって、（３）と（４）式は、f(x)=x²の点x=aにおける微分係数f'(a)=2aと正確に計算することができる。
では、ここで、お前らに質問！！
一般に、（３）と（４）のどちらの近似式がf(x)のx=aにおける微分係数f''(a)を精度よく計算できるでしょうか。
また、それは、なぜでしょうか。
f(x)=x³とし、（３）と（４）を使い、f'(a)の近似値を計算し、f'(a)=3a²と近似値との誤差を調べるとわかるかもしれない。
試しに、a=1、h=0.1として計算すると、
となり、（３）式を使ったほうが正確に計算できそうですが・・・。
また、f(x)=x⁴、a=1、h=0.1とすると、
したがって、（３）、（４）式による誤差は
となり、（４）式によるf'(1)の誤差は（３）式によるf'(1)の近似値の誤差の約２倍。
これは、偶然でしょうかね。
ところで、
となるので（間違っているかもしれないので、お前ら、確かめるにゃ）、
と近似することができるはずである。
f(x)=x³、a=1、h=0.1とすると、
f(x)=x⁴、a=1、h=0.1とすると、
似たような式（偏った差分）なのだけれど、f(x)=x³だと（４）式を使って計算したx=1における微分係数と同じ値なのに、f(x)=x⁴のx=1における微分係数を（５）式で計算すると、途端に誤差が大きくなり、精度が悪くなるにゃ。
難しいケロね。
下のグラフは、（５）式を用いてf(x)=x⁴のx=1における微分係数f'(1)を計算した近似値の誤差とhの関係を横軸、縦軸ともに対数目盛を使って表している。
このグラフを見ると、hが１０分の１になると、誤差が約１００分の１になっていることがわかる。
つまり、（５）式の近似式の誤差はh²に比例しているというわけ。このことを記号Ο(h²)で表す。
この関係は、（３）、（４）でも同じで、近似式の誤差Ο(h²)はなんだケロよ。
どうでもいいことだけれど、Ο(h²)のΟは、ギリシア文字のオミクロンの大文字で、アルファベットの大文字のOではないにゃ。
ではあるが、日本ではランダウのビックオーと呼ばれたりするにゃ。
f(x)=x⁴を例にしたが、これは一般の２回微分可能な関数f(x)について成り立つ関係で
なんだケロよ。
順序が逆転してしまったが、
である。
f(x)=x²のとき、
だから、（１）、（２）の近似式の誤差は、hに比例し、それゆえに、O(h)になることがわかってもらえるのではないか。
「f(x)=x³の場合はどうか」だって。
hは非常に小さい数だから、｜h²｜≪｜h｜となり、上の式のh²は無視することができて、
となるので、やっぱ、O(h)だにゃ。
スピカは１つの星じゃないので、
アニメ「２つのスピカ」で使われていたのは「Venus Say ・・・」で、歌詞が少し違う「鯨」という曲があるにゃ、