関数の連続と微分可能性に関係する問題
問１
任意の実数x,yに関して、関数fは次の関係を満たす。
次の問に答えよ。
（１） f(0)の値を求めよ。
（２） f(−x)=−f(x)が成り立つことを示せ。
（３） 任意の整数nに関して、次の関係が成り立つことを示せ。
（４） nを整数、mを0でない整数とするとき、次の関係が成り立つことを示せ。
（５） 関数fが連続であれば、
であることを示せ。
【解】
（１）
（２）
（３） n=1のとき、f(x)=f(x)だから成立。
n=kのとき、f(kx)=kf(x)と仮定すると、
n=k+1のとき、
よって、すべての自然数nに関して
また、n=0のとき、f(0)=f(0)だから、成立。
nが負の整数のとき、
とおくと、
よって、任意の整数nに関して
（４） m≠0の整数とすると、
したがって、
（４） fは連続で、かつ、すべての有理数の点x=n/mで
が成立するので、任意の実数xで
（解答終）
問２
任意の実数x,yに対して、
で、かつ、関数fが点x=0で連続ならば、fは実数全体の集合Rで連続で、かつ、
【解】
関数fがx∈Rの各点xで連続であることを示せば、問題１よりf(x)=f(1)xとなる。
関数fは点y=0で連続だから、
（解答終）
問３
任意の実数x,yに対して
である関数fは、点x=0で微分可能ならば、x∈Rの各点xでfが微分可能であることを示せ。
【解】
h≠0とすると、
関数fは点x=0で微分可能だから、
が存在する。
したがって、任意のx∈Rに対して、
となり、関数fはRで微分可能である。
【解答終】
なお、
で、f(0)=0だから、
になるんですが・・・。
問４ Rで定義された関数fは、任意の実数x、yに対して
を満たし、f(x)=0にならないとする。関数fが点x=0で微分可能ならば、fは任意のx∈Rで微分可能であることを示せ。
【略解】
だから、任意のx∈Rに対して
よって、任意のx∈Rでfは微分可能。
（略解終）
問５ 問４でf'(0)=1とした関数f(x)はどのような関数になるか。
ここまでは、ほんの小手調べ。
関数fが
と等号「＝」で結ばれていたから、簡単だった。
では、次の問題に挑戦してもらいましょうか。
問題
実数全体の集合Rで定義された関数fがある。
任意の実数x、yに対して、
を満たし、f(0)=0、かつ、点x=0で連続（微分可能）であるとき、fはRで連続（微分可能）であることを示せ。
できたら、
関数fがx=0で連続であるとき、微分可能であるときの両方を解いて欲しいのだけれど、
連続の場合だけでもいいにゃ。
ノーヒントだと辛いだろうから、少し、ヒントを出してやるにゃ。
（１）式をあれこれ弄（いじ）くりまわし、
といった式を、何とか、ひねり出すにゃ。
すると、点x=0で連続だから、
となり、ハサミ打ちの定理より
になる。